екстремални задачи в геометрията

[Гост]

Моля за решения...Не ми е ясен принципа на решение на такъв тип задачи...

1.Намерете кой от всички успоредници с фиксирани страни a и b има най-голямо лице.

2.От всички равнобедрени триъгълници с дължина b на бедрото,намерете този,за който сборът на основата и височината към нея е най-голям.

3.От всички правоъгълни триъгълници с дължина h на височината към хипотенузата намерете този,който има най-малка хипотенуза.

[Knowledge Greedy]

Има различни принципи при търсене на екстремално решение. В първата задача използваме интервала с известните стойности на функцията синус. В другите две - класическите неравенства между средно геометрично, средно аритметично и средно квадратично.

1. Лице на успоредник [tex]S=absin\varphi[/tex] , където [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между двойката съседни страни.
[tex]sin\varphi \le 1 \,\ \Rightarrow \,\ S\le ab[/tex]
Значи успоредник с ъгъл [tex]\varphi =90^\circ[/tex], т.е. правоъгълникът с тези страни е успоредникът с най-голямо лице.

2. От всички равнобедрени триъгълници с дължина b на бедрото, намерете този, за който сборът на основата и височината към нея е най-голям.

Височината и половината от основата по теоремата на Питагор дават бедрото, което е постоянно.
[tex]h^2_c+\left ( \frac{c}{2} \right )^2=b^2[/tex]
Сумата, която трябва да направим възможно най-голяма при това условие, е [tex]F(c)=c+\sqrt{b^2-\left ( \frac{c}{2} \right )^2}[/tex]
Ще използваме неравенството между средно аритметично и средно квадратично - то ще позволи в дясната страна, като най-голяма стойност да остане число, зависещо само от даденото число [tex]b[/tex].
Разглеждаме [tex]\frac{1}{5}F(c)[/tex] като го записваме така
[tex]\frac{1}{5}F(c)=\frac{\left ( \frac{c}{4} \right )+\left ( \frac{c}{4} \right )+\left ( \frac{c}{4} \right )+\left ( \frac{c}{4} \right )+\sqrt{b^2-\left ( \frac{c}{2} \right )^2}}{5}[/tex]

Средното квадратично на същите 5 числа е [tex]\sqrt {\frac{\left ( \frac{c}{4} \right )^2+\left ( \frac{c}{4} \right )^2+\left ( \frac{c}{4} \right )^2+\left ( \frac{c}{4} \right )^2+ \left ( \sqrt{b^2-\left ( \frac{c}{2} \right )^2} \right )^2}{5}}[/tex]
Както лесно се вижда, то е равно на [tex]\frac{b}{\sqrt{5}}[/tex]

Но [tex]CA \le CK[/tex] , следователно [tex]\frac{1}{5}F(c)\le \frac{b}{\sqrt{5}}[/tex]
Окончателно
[tex]F(c)\le b \sqrt{5}[/tex]
и равенство се достига само при равни величини [tex]\left ( \frac{c}{4} \right )=\left ( \frac{c}{4} \right )=\left ( \frac{c}{4} \right )=\left ( \frac{c}{4} \right )=\sqrt{b^2-\left ( \frac{c}{2} \right )^2}[/tex]
т. е. при основа [tex]c=\frac{4b}{\sqrt{5}}[/tex] и [tex]h_c=\frac{b}{\sqrt{5}}[/tex].

3.От всички правоъгълни триъгълници с дължина h на височината към хипотенузата намерете този,който има най-малка хипотенуза.

Добре знаем формулата [tex]h^2_c=a_1.b_1[/tex] - тук [tex]a_1[/tex] и [tex]b_1[/tex] са ортогоналните проекции на катетите [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] върху хипотенузата [tex]c[/tex].
Искаме да направим сбора [tex]c=a_1+b_1[/tex] възможно най-малък.
Ще използваме неравенството между средно аритметично и средно геометрично [tex](CA\ge C\Gamma )[/tex]

[tex]\frac{a_1+b_1}{2}\ge \sqrt{a_1b_1}[/tex]
Лявата страна е [tex]\frac{c}{2}[/tex], а дясната е точно [tex]h[/tex]
Получихме, че [tex]c\ge 2h[/tex]
Минималната стойност [tex]c=2h[/tex] се достига точно тогава, когато [tex]a_1=b_1[/tex] - значи когато триъгълникът е правоъгълен равнобедрен, с височина [tex]h[/tex].

[Гост]

Много ти благодаря.Радвам се,че има хора,които са на ТИ с математиката и много съжалявам,че не съм една от тях.Отново благодарности.....