Котангенсова теорема - задачи

[Гост]

Помогнете....

1image.jpg (1.1 MiB) Прегледано 1005 пъти

[KOPMOPAH]

За първата задача използвай косинусова теорема и формулата за лице чрез страни и синус на ъгъла между тях.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\alpha$, $S=\frac{bc\cdot sin\alpha}{2}\Rightarrow bc=\frac{2S}{sin\alpha}$ заместваме $bc$ в първия израз и се получава
$a^2=b^2+c^2-2\frac{2S}{sin\alpha}cos\alpha=b^2+c^2-4Scotg\alpha$

[Knowledge Greedy]

За трета задача.
Лявата страна е [tex]L=2Rsin\alpha.cos\alpha +2Rsin\beta.cos\beta+2Rsin\gamma.cos\gamma[/tex] - с трикратно използване на синусова теорема.
Изнасяме пред скоби [tex]R[/tex], а сумата в скобите правим на произведение.
[tex]sin2\alpha +sin2\beta +sin2\gamma=2sin\frac{2\alpha+2\beta}{2}cos \frac{2\alpha-2\beta}{2}+sin2\gamma=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}\frac{\alpha-\beta}{2}+2sin{\gamma} cos\gamma[/tex]
Използваме, че
[tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] са ъгли на триъгълник. Значи [tex]sin(\alpha +\beta)=sin\gamma[/tex] и [tex]cos(\alpha +\beta)=-cos\gamma[/tex] . Сега отново изнасяме общ множител, а сборът в скобите - отново като произведение.
Дотук
[tex]L=2Rsin \gamma [cos(\alpha -\beta)-cos (\alpha +\beta)][/tex]
Окончателно
[tex]L=4Rsin\gamma sin \alpha sin \beta \equiv R[/tex] -дясната страна.