Пирамида

[Гост]

ABCV е триъгълна пирамида с основа [tex]\Delta ABC[/tex], за която [tex]\angle ACB=90, AC=8, BC=6[/tex]. Всички околни стени сключват с основата равни ъгли с големина [tex]\alpha[/tex]. Търси се : обема на пирамидата и [tex]tg\beta, \beta= \angle(AV,(ABC))[/tex].

[KOPMOPAH]

Тъй като $\triangle ABC$ е правоъгълен, по Питагорова теорема се намира $AB=10$. По условие околните стени сключват еднакви ъгли с равнината на основата, следователно върхът $V$ се проектира в центъра на вписаната в $\triangle ABC$ окръжност, а височините на околните страни - в радиусите на тази окръжност. Ако отбележим този радиус с $r$ и използваме формулата за лице $S=p.r$ ($p$ е полупериметърът), намираме $r=2$, следователно височината на пирамидата е $h=r.tg\alpha=2tg\alpha$ и, съответно $V=\frac{S_{ABC}.h}{3}=\frac{24.2tg\alpha}{3}=16tg\alpha$.
Търсеният $tg\beta$ e равен на отношението на височината на пирамидата $h$ и разстоянието между върха $A$ и центъра на вписаната окръжност, а това разстояние се намира сравнително лесно по Питагорова теорема и е равно на $2\sqrt{5}$. Тогава $tg\beta=\frac{2tg\alpha}{2\sqrt{5}}=\frac{\cancel{2}tg\alpha}{\cancel{2}\sqrt{5}}=\frac{tg\alpha \sqrt{5}}{5}$