Две стереометрични задачи

[Гост]

Задача 1: Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб 1. Точките P и Q са съответно среди на ръбовете B1C1 и C1D1, а точка M е от ръба AA1 като AM:MA1=1:2. Да се намери лицето на сечението на куба с равнината през точките M, P и Q.
Задача 2: В куб ABCDA1B1C1D1 през върха B, средата M на ръба CC1 и средата K на ръба AD е построена равнина [tex]\gamma[/tex]. Да се намери тангенса на ъгъла между равините [tex]\gamma[/tex] и(ABC).

[Knowledge Greedy]

1. Сечението е многоъгълник[tex]^\ast[/tex], който е симетричен спрямо равнината на диагоналното сечение [tex](ACC_1)[/tex]
Ортогоналната му проекция върху равнината на горната основа е петоъгълник, който се получава с изрязването на равнобедрен правоъгълен триъгълник с катет [tex]\frac{1}{2}[/tex], следователно [tex]S_{ np.}=\frac{7}{8}[/tex]

За лицето на сечението.png (5.8 KiB) Прегледано 535 пъти

Ъгъла [tex]\varphi[/tex] между равнината на сечението и равнината на основата определяме между
два перпендикуляра [tex]^{\ast \ast}[/tex] към пресечницата им (на равнината на сечението и равнината на основата). Въпросната пресечница е правата [tex]PQ[/tex], а перпендикулярите са [tex]A_1C_1[/tex] и [tex]MZ[/tex] - виж втория чертеж. (Така [tex]cos\varphi =\frac{9}{\sqrt{113}}[/tex],
а лицето на сечението [tex]S=\frac{S_{ np.}}{cos\varphi }=\frac{7\sqrt{113}}{72}[/tex]
_________________
[tex]^\ast[/tex] Сечението е петоъгълник с ос на симетрия правата [tex]MZ[/tex] от равнината [tex](ACC_1)[/tex] . Ако се налага - ще го построим
[tex]^{\ast \ast}[/tex] Понеже [tex]A_1C_1[/tex] и [tex]B_1D_1[/tex] са диагонали на куба - взаимно перпендикулярни, а [tex]PQ||B_1D_1[/tex] - като средна отсечка.

2. Пресечницата на равнината [tex]\gamma[/tex] и равнината [tex](ABC)[/tex] е правата [tex]BK[/tex].
Спускаме перпендикуляр [tex]CN[/tex] от точка [tex]C[/tex] към пресечницата [tex]BK[/tex], [tex]N\in BK[/tex].
Тъй като точка [tex]C[/tex] е ортогоналната проекция на точка [tex]M[/tex] върху равнината [tex](ABC)[/tex] (по условие имаме куб, [tex]CC_1[/tex] е околен ръб), то съгласно ТТП - теоремата за трите перпендикуляра следва, че и [tex]MN\bot BK[/tex].
Изчисляваме ги чрез ръба на куба - един тангенс и две питагорови теореми..
[tex]CN=\frac{2a}{\sqrt{5}}[/tex]
[tex]MN=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{20}}[/tex]
[tex]cos\varphi = \frac{CN}{MN}=\frac{4}{\sqrt{19}}[/tex]

[Гост]

Благодаря!