Да се намери радиусът на описаната окръжност

[Гост]

Здравейте. Имам една задача, по която нищо не ми хрумва, ако може някой да ми помогне, ще съм много благодарен.
В триъгълника ABC точката O е вътрешна и такава, че [tex]\angle[/tex]ABO=[tex]\angle[/tex]BCO=[tex]\angle[/tex]CAO. Да се намери радиусът на описаната около триъгълник ABC окръжност, ако [tex]R_1[/tex], [tex]R_2[/tex] и [tex]R_3[/tex] са радиусите на описаните около триъгълниците ABO, BCO, CAO окръжности

[Гост]

Построй си трите окръжности около малките триъгълници и им съедини центровете.... и виж новия триъгълник.

[Knowledge Greedy]

На чертежа останаха излишни работни елементи, както и случайният ъгъл [tex]\varphi = 29^\circ[/tex] за правдоподобност и красота

Тази заслужаваше да е за седмицата.png (8.25 KiB) Прегледано 262 пъти

За решението ще ни трябват
[tex]\angle AOB=180^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\angle BOC=180^\circ - \beta[/tex]
[tex]\angle AOB=180^\circ - \gamma[/tex],
получени от условието с помощта на ъгли с взаимно перпендикулярни рамене.
С три синусови теореми за [tex]\Delta ABO, \,\ \Delta BCO \,\ и \,\ \Delta ABO[/tex] получаваме, че
[tex]\frac{AO}{sin\varphi}=2R_3=\frac{c}{sin (180^\circ - \alpha)}[/tex]
[tex]\frac{BO}{sin\varphi}=2R_1=\frac{a}{sin (180^\circ - \beta)}[/tex]
[tex]\frac{CO}{sin\varphi}=2R_2=\frac{b}{sin (180^\circ - \gamma)}[/tex]
Умножаваме почленно и получаваме
[tex]8R_1R_2R_3=\frac{abc}{sin \alpha . sin \beta . sin \gamma}[/tex]
Дясната страна - с още синусови теореми за [tex]\Delta ABC[/tex], е точно [tex]8R^3[/tex].
Следователно [tex]R=\sqrt[3]{R_1R_2R_3}[/tex]