Числова редица

[Гост]

да се докаже, че числова редица с първи елемент а1=1 и an+1=(2*an*an+an+6)/(an+6) [n и n+1 са съответно долни индекси] е сходяща. Правя предположения, че елементите на редицата са в интервал[1,2)
Как да докажа, че за Vn an+1 принадлежи също на интервала [1,2) и an+1=(2*an*an+an+6)/(an+6)<2(съответно да се получи същото неравенство, ако числителя се замести с едно число от редицата, а знаменателя с друго число също от редицата.)

[Davids]

Имаш предвид [tex]a_{n+1} = \frac{2a_n^2 + a_n + 6}{a_n + 6}[/tex] или?

[Гост]

да

[Гост]

да,това имах в предвид

[darinalazarova73]

Мисля,че тази редица е растяща.

[Knowledge Greedy]

База на индукцията.
[tex]a_1=1 \,\ \Rightarrow \,\ a_1< a_2=\frac{9}{7} <2[/tex]
Образуваме разликата [tex]a_{n+1}-a_n[/tex]
[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-5a_n+6}{a_n+6}[/tex]
Явно [tex]a_{n+1}-a_n=\frac{\left ( a_n-2 \right )\left (a_n-3 \right )}{a_n+6} \,\ (\ast)[/tex]
Индукционен преход.
Ако за някое [tex]n[/tex] e изпълнено [tex]a_n<2[/tex] (а такива има - виж базата),
то от [tex](\ast)[/tex] следва, че [tex]a_{n+1}-a_n>0[/tex]
Следователно редицата [tex]\left \{ a_n \right \}^{\infty}_{n=1}[/tex] е монотонно растяща и ограничена, значи е сходяща (съгласно теоремата на Вайерщрас).

Границата [tex]l[/tex] намираме с граничен преход в равенството
[tex]a_{n+1}=\frac{2a_n^2+a_n+6}{a_n+6}[/tex]
От [tex]\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty} \frac{2a_n^2+a_n+6}{a_n+6}[/tex] получаваме [tex]l^2-5l+6=0[/tex]
Възможността [tex]l=3[/tex] отпада и остава [tex]l=2[/tex].

[Гост]

идеята в моята задача е , че трябва да докажа ограничението отгоре, а именно че ан+1 винаги е по-малко от 2.. което е действителното затруднение в моя случай. Интересува ме горната граница 2;

Не мога да доказа, че за абсолютно всяко н от интервал [1,2) [tex]a_{n+1} = \frac{2a_n^2 + a_n + 6}{a_n + 6}[/tex] < 2(винаги);

[pal702004]

А можеш ли да решиш неравенството
$\frac{2x^2+x+6}{x+6}>2$

[Гост]

идеята в моята задача е , че трябва да докажа ограничението отгоре, а именно че ан+1 винаги е по-малко от 2.. което е действителното затруднение в моя случай. Интересува ме горната граница 2; ...
[tex]a_{n+1} = \frac{2a_n^2 + a_n + 6}{a_n + 6}< 2[/tex](винаги);

Стига се лигави, виж човекът ти го е доказал по-горе - с индукция.
[tex]a_1<a_2< ...[/tex]
И от [tex]a_n<2[/tex], щом до този момент [tex]a_{n-1}<a_n[/tex] - следва [tex]a_{n+1}<2[/tex]
От него пък следва, че [tex]a_{n+1}<a_{n+2}[/tex] и [tex]a_{n+2}<2[/tex] и т.н.