Триъгълник

[Гост]

В Δ ABC е вписана окръжност, която се допира до страната в точка . Ако AD=DB, BC=9, cos∠ABC = [tex]\frac{2}{3}[/tex] , да се намери дължината на страната AB .

[emil3993]

точка D е среда от AB, точка O е центъра на вписаната окрожност, построяваме медиана CD, минаваща през точка O, точка G е медицентър, OD=r=OG, CG=2*OD=2*2r=4r
Трите ъглополовящи в произволен триъгълник се пресичат в една точка, която е и център на вписаната окръжност в триъгълника.
свойство на ъглополовящите в CDB(OB ъглополовяща)
5r/r=9/DB
5/1=9/DB
DB=9/5
AB=18/5

[Гост]

Ако точката [tex]D[/tex] е среда на [tex]AB[/tex] и едновременно с това е допирна точка на вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност със страната [tex]AB[/tex], то [tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен и [tex]AC=BC=9[/tex].
Остана да приложим косинусовата теорема и [tex]AB^2=BC^2+AC^2-2AC.BC.cos\gamma[/tex]

Задача на Емил.png (5.96 KiB) Прегледано 372 пъти

Заместено с дадените числа
[tex]AB^2=9^2+9^2-2.9.9.\frac{2}{3}[/tex]
[tex]AB^2=2.81-2.27=104[/tex]
[tex]AB=\sqrt{104}=2\sqrt{26}[/tex]

[Nathi123]

От условието на задачата не е ясно коя е точката D , но да приемем че освен че е средата на отсечката АВ е допирната точка на вписаната окръжност със страната АВ. Тогава АС = ВС и [tex]\angle ABC=\angle CAB ; CD\bot AB[/tex]
От [tex]\Delta BCD \Rightarrow \frac{DB}{BC} = cos \angle ABC \Rightarrow BD=\frac{1}{2}AB=9.\frac{2}{3}=6 \Rightarrow AB =12.[/tex]
[tex]cos \gamma =cos( 180-2\beta)=-cos2\beta; cos2\beta = 2cos^{2}\beta -1 = 2.\frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}\Rightarrow cos\gamma = \frac{1}{9}[/tex]
От cos т-ма за триъг. АВС [tex]\Rightarrow AB^{2}=2.81-2.81.\frac{1}{9}=2.9(9-1)=16.9\Rightarrow AB=3.4=12.[/tex]

[emil3993]

Трима решения на една задача с три различни отговора .

[Nathi123]

Първото решение не е вярно,защото в условието на задачата не е казано,че медицентърът на триъгълника е върху вписаната в триъгълника окръжност. Такава теорема за произволен триъгълник няма. Второто изложено решение ( от гост ) също не е вярно,тъй като в условието на задачата е даден cos ABC = [tex]\frac{2}{3}[/tex] , а не cos [tex]\gamma = cos \angle ACB[/tex]! Показала съм как може да се намери cos ACB чрез cosABC. Освен това по двата показани начина на решение стигам до един и същ резултат за АВ = 12 .По - бързо се решава без използване на косинусовата теорема за триъг. АВС , а чрез изразяване на cosABC в правоъгълния триъг. BCD !

[Гост]

И при вас има грешка , никъде не пише че D е среда на AB

[Гост]

И отговора е 4! Но не знам как да го получа (

[shener.hadjimehmed]

в триъгълник е вписана окръжност която се допира до страната BC в точката D ако AD=DB BC=9 и косинус на ABC=2/3 да се намери дължината на страната AB