Стереометрия

[Гост]

Бих се радвала, ако някой може да помогне със задача 7,8,9,10

[emil3993]

7a
D1D-околен ръб, който в куб е и височина
Ако права е перпендикулярна на две пресичащи се прави от една равнина, то тя е перпендикулярна на равнината.
\begin{array}{|l} D1D \bot AD \\ D1D \bot DC \end{array}
=>D1D[tex]\bot[/tex]ABCD
Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, двете равнини са перпендикулярни.
=>D1DB[tex]\bot[/tex]ABCD
Ако две равнини са перпендикулярни, то всяка права от едната равнина, която е перпендикулярна на пресечницата на двете равнини, е перпендикулярна на другата равнина.
DB-пресечница на D1DB и ABCD
AC[tex]\bot[/tex]BD, защото ABCD квадрат
=>AC[tex]\bot[/tex]BDD1
не знаех, че ще мога да я реша

[emil3993]

7б
DB-ортогонална проекция на D1B в ABCD
Ако права е перпендикулярна на две пресичащи се прави от една равнина, то тя е перпендикулярна на равнината.
[tex]\begin{array}{|l} DB \bot AC(ABCD-квадрат) \\ DB \bot BB1\end{array}[/tex](BB1 [tex]\in[/tex] ACB1)[O е център на ABCD и B1O [tex]\equiv[/tex] BB1{AB1, B1C наклонени}]
D1B[tex]\bot[/tex]ACB1

[Гост]

7. б.)
Може и така - метрично доказателство.
[tex]\Delta ACB_1[/tex] е равностранен, защото страните му са диагонали на еднакви квадрати.
Нека [tex]O_1[/tex] е центърът на неговата описана окръжност, а радиусът ѝ [tex]r=AO_1=\frac{2}{3}.\frac{(a\sqrt{2})\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex]. Ако свържем върха [tex]B[/tex] с точката [tex]O_1[/tex], то [tex]BO_1[/tex] ще е височина на пирамидата [tex]ACB_1B[/tex] - към основа [tex]\Delta ACB_1[/tex]. Защо?

Едно обяснение с обеми.
[tex]V_{ACB_1B}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ACB_1}.h[/tex]
Същият обем, ако разглеждаме пирамидата с основа [tex]\Delta ACB[/tex] и височина [tex]BB_1[/tex]
[tex]V_{ACB_1B}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC.AB.BB_1=\frac{a^3}{6}[/tex]
Понеже
[tex]S_{\Delta ACB_1}=\frac{1}{2}.\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^2 sin60^\circ=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}[/tex]
сравнявайки двете представяния, стигаме до
[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex]
Сега като разгледаме триъгълника, страните на който са с дължини [tex]\frac{a\sqrt{6}}{3}, \,\ \frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex] и [tex]a,[/tex] и приложим обратната на теоремата на Питагор (респективно косинусова теорема), получаваме
[tex]\left (\frac{a\sqrt{6}}{3} \right )^2+\left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2=a^2[/tex],
което доказва съвпадането на [tex]BO_1[/tex] и [tex]h[/tex] като дължини.
Следователно [tex]BO_1\bot (ACB_1)[/tex]
_________
Ползата от това дълго доказателство щеше да е незначителна, ако от другата страна на равнината [tex](ACB_1)[/tex] - в полупространството съдържащо [tex]D_1[/tex] не можехме да направим същото. Но там големината на [tex]D_1O_1[/tex] e [tex]2h[/tex]. Установяваме, че [tex]B, O_1 \,\ и \,\ D_1[/tex] са на една права, [tex]BD_1\bot (ACB_1)[/tex] и [tex]BO_1:O_1D=1:2[/tex]

[emil3993]

7б-бонус
Да се докаже, че BB1 е височина в ACB1?
BB1-височина в куба
O-център на ABCD
B1O-височиа в ACB1
Ако права е перпендикулярна на две пресичащи се прави от една равнина, то тя е перпендикулярна на равнината.
[tex]\begin{array}{|l} BB1 \bot AB \\ BB1 \bot BC\end{array}[/tex]
=>BB1[tex]\bot[/tex]ABCD
Права и равнина са перпендикулярни, ако правата е перпендикулярна на всички прави в равнината.
=>BB1[tex]\bot[/tex]AC
През дадена точка съществува единствена права, която е перпендикулярна на дадената равнина.
=>BB1[tex]\equiv[/tex]B1O
Забравих да кажа, че:
Теорема за трите перпендикуляра.
=>D1B[tex]\bot[/tex]ACB1