Триъгълник, вписана и описана окръжност

[Гост]

Здравейте. Ще се радвам, ако ми помогнете да се справя с една задача. Даден е равнобедрен триъгълник ABC, при който трябва да докажа, че отсечката OJ (разстоянието между центъра на вписаната и центъра на описаната окръжност) е равно на [tex]\sqrt{R(R-2r)}[/tex] . Предпочитам да ми дадете по-скоро насоки за решаването и. Пробвах с подобни триъгълници и отношения, но ми се получиха много неизвестни и го докарвам доникъде..

[Knowledge Greedy]

Чертеж 1..png (9.55 KiB) Прегледано 928 пъти

Най-добре да работим с определението за синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник
[tex]sin\frac{\alpha}{2}=\frac{JM}{AJ}[/tex] и [tex]sin\frac{\alpha}{2}=\frac{CL}{DL}[/tex]
но същото равенство може да се получи и от подобието на тези правоъгълни триъгълници: [tex]\Delta DLC[/tex] и [tex]\Delta AJM[/tex]
Равенството [tex]\frac{JM}{AJ}=\frac{CL}{DL}[/tex] е равносилно на [tex]\frac{r}{AJ}=\frac{CL}{2R}[/tex] и на [tex]2Rr=CL.AJ[/tex]
Сега ще заменим [tex]CL[/tex] с неговото равно [tex]JL[/tex] от равнобедрения [tex]\Delta CJL[/tex]

Чертеж 4..png (7.47 KiB) Прегледано 928 пъти

А полученото произведение [tex]2Rr=AJ.JL[/tex] в дясната страна - с неговото равно [tex]CJ.JN[/tex]
Остава да включим в равенството [tex]OJ[/tex] като отбележим, че [tex]CJ=R+OJ[/tex], а [tex]JN=R-OJ[/tex] и да изразим [tex]OJ[/tex] само чрез [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex]
___________
Защото [tex]O[/tex] и [tex]J[/tex] са на диаметъра [tex]CN[/tex] на описаната окръжност, нали?