Тригонометрия

[Гост]

Здравейте! Имам проблем с 2 задачи за доказване на равенство. Ще се радвам, ако ми помогнете с насоки.

8d4748b6870f205c68a1f3e45c2540c7.png (1.66 KiB) Прегледано 286 пъти

5daa3715d8d9b44cc1243a42f8fbcdb7.png (1.31 KiB) Прегледано 286 пъти

Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Първата задача се решава буквално на два реда с помощта на универсалното тригонометрично заместване $sin \;x =\frac {2 tg {\frac x 2 }}{1+tg^2 {\frac x 2 }}$, $cos \;x =\frac {1-tg^2 {\frac x 2 }}{1+tg^2 {\frac x 2 }}$

[Добромир Глухаров]

Нека $A=cos24^\circ+cos48^\circ+cos60^\circ+cos72^\circ$. Трябва да докажем, че $A=\frac{1}{4sin6^\circ}$, т.е., че $2sin6^\circ.A=\frac{1}{2}$

$2sin6^\circ.A=2sin6^\circ.cos24^\circ+2sin6^\circ.cos48^\circ+2sin6^\circ.cos60^\circ+2sin6^\circ.cos72^\circ$

Ще използваме формулата $2sin\alpha cos\beta=sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)$

$2sin6^\circ.A=sin(6^\circ+24^\circ)+sin(6^\circ-24^\circ)+sin(6^\circ+48^\circ)+sin(6^\circ-48^\circ)+sin(6^\circ+60^\circ)+sin(6^\circ-60^\circ)+sin(6^\circ+72^\circ)+sin(6^\circ-72^\circ)$

$2sin6^\circ.A=sin30^\circ-sin18^\circ\cancel{+sin54^\circ}-sin42^\circ\cancel{+sin66^\circ}\cancel{-sin54^\circ}+sin78^\circ\cancel{-sin66^\circ}$

$2sin6^\circ.A=\frac{1}{2}+sin78^\circ-sin42^\circ-sin18^\circ$

Сега използваме $sin\alpha=cos(90^\circ-\alpha)$

$2sin6^\circ.A=\frac{1}{2}+cos12^\circ-cos48^\circ-cos72^\circ$

А също и $cos\alpha+cos\beta=2cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

$2sin6^\circ.A=\frac{1}{2}+cos12^\circ-2cos60^\circ cos12^\circ=\frac{1}{2}$