Прогресии

[lexa0]

Може ли някой да ми реши задачите за утре?

[Knowledge Greedy]

1. Образувай разликата [tex]a_{n+1}-a_n=\frac{3(n+1)+2}{2(n+1)-1}-\frac{3n+2}{2n-1}[/tex]
След привеждане двете дроби към общ знаменател, той - знаменателят [tex](2n+1)(2n-1) >0[/tex] за естествени [tex]n[/tex], докато числителят ще се окаже отрицателно число.
Следователно [tex]a_{n+1}-a_n<0[/tex] и редицата се оказва намаляваща .
За подусловие б) е достатъчно да заменим първоначално с [tex]n=7[/tex] и втори път с [tex]n=k+3[/tex]
При [tex]n=k+3[/tex] се получава
[tex]a_{k+3}=\frac{3(k+3)+2}{2(k+3)-1}=\frac{3k+11}{2k+5}[/tex]

2. Имаме [tex]\begin{array}{|l} a_n= 55 \\ a_2+a_5 =32,5 \\ S_{15} =412,5 \end{array}[/tex]
От третото условие [tex]2a_1+14d=825/15=55[/tex]
а от второто условие [tex]2a_1+5d=32,5[/tex]
Следователно [tex]9d=22,5 \,\ d=2,5[/tex]
Връщаме се в третото условие [tex]2a_1+35=55[/tex]
и получаваме [tex]a_1=10[/tex]
С намерените [tex]a_1[/tex] и [tex]d=2,5[/tex] заместваме в първото условие и получаваме [tex]n[/tex].

3. Явно [tex]a_7+a_{15}=2a_{11}[/tex]
и [tex]a_4+a_{12}=2a_{8}[/tex]
Ето защо след като означим [tex]\begin{array}{|l} x =a_8 \\ y =d \end{array}[/tex]
дадената система става [tex]\begin{array}{|l} (2x-4y)^2 + (2x+4y)^2 =1170 \\ x + 3y =30 \end{array}[/tex],
откъдето [tex]\begin{array}{|l} x = 21 \\ y = 3 \end{array}[/tex] или [tex]\begin{array}{|l} x =17,4 \\ y = 4,2 \end{array}[/tex]
с решаването на последните две системи намираме възможните аритметични прогресии.

4.a) Разделяме почленно двете уравнения на системата [tex]\begin{array}{|l} a_1^4=16 \\ a_1^6=64 \end{array}[/tex]
и след получаване на [tex]q^2=4[/tex] намираме двете възможни прогресии - с частно [tex]q=2[/tex] или [tex]q=-2[/tex]

4.б) От първото уравнение получаваме [tex]q^3=8 \,\ \Rightarrow \,\ q=2[/tex]. Замествайки във второто, получаваме
Получава се уравнението [tex]2a_1.2^4-3a_1.2^3=40\,\ \Rightarrow \,\ a_1=5[/tex]

5. и 6. трябва бавно и търпеливо да се разпишат. Няма нищо особено в решението.

7. [tex]K_0.\left (1+\frac{p}{100} \right )^4=3K_0[/tex]
И остава да решим с коренуване [tex]\left(1+\frac{p}{100} \right )^4=3[/tex]
[tex]1+\frac{p}{100} =\sqrt[4]{3}[/tex]
[tex]1+\frac{p}{100} =1,31607[/tex]
[tex]\frac{p}{100} =0,31607[/tex]
[tex]p=31,607 \%[/tex]

8. е същата като седмата: [tex]K_0.\left (1+\frac{15}{100} \right )^n=2K_0[/tex]
[tex]\left (1,15 \right )^n=2[/tex]
Само че тук решението ще получим с логаритмуване.
[tex]nlog1,15=log2[/tex]
[tex]n=\frac{log2}{log1,15}=\frac{0,30103}{0,060698}=4,95948 \approx 5[/tex]години
__________
Не се доверявай на написаното от мен. Не си ми платил и може евентуално да те излъжа. Провери си внимателно сметките.

[mail_dinko]

Задача 5.
Тъй като няма знак за геометрична прогресия, ще използвам ГП; за аритметична - АП
Дадено е, че
ГП [tex]a_1 ; a_2; a_3[/tex]
ГП [tex]a_1 ; a_1 q ; a_1 q^2[/tex]
АП [tex]b_1 ... b_4 ... b_25[/tex]
По условие първите два члена на двете прогресии са равни
АП [tex]a_1; a_1 + 3d; a_1 +24 d[/tex]
Разглеждаме АП: [tex]a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow a_4 = a_1 +3d[/tex]

Заменяме [tex]a_4 = a_ 1 q[/tex]
[tex]a_1 q - a_1 =3 d[/tex]
Аналогично правим и за 25-ия член и получаваме системата
[tex]a_25- a_ 4 = \cancel {a_1} + 24 d \cancel {- a_1} - 3d = 21d \Leftrightarrow a_1 q^2 - a_1 q = 21[/tex]
\begin{array}{|l} a_1 q - a_1 = 3d \\ a_1 q^2 - a_1 q= 21d \end{array}
В двете уравнения на системата изнасяме общия множител в лявата част. В дясно при d различно от нула можем да разделим
[tex]\frac {a_1 (q-1)}{a_1 q (q-1)} = \frac {3d}{21d} \Leftrightarrow \frac {\cancel {a_1} \cancel {(q-1)}} { \cancel {a_1} q \cancel {(q-1)}} = \frac { \cancel{3d}}{7 \cancel {.3.d}} \Rightarrow \fbox {q=7}[/tex]
ГП [tex]a_1; a_1.7; a_1 . 7^2[/tex]
[tex]a_1 + 7a_1 + 49a _1 = 114 \Leftrightarrow 57a_1 = 114 \Leftrightarrow a_1 = 2 \Rightarrow 2; 14; 98[/tex]
АП 2; 6; 10; 14; 18; 22; и т.н. прогресията е с разлика 4, която намираме чрез едно (по избор) от уравн. на системата

Задача 6
ГП [tex]a_ 1; a_2; a_ 3[/tex]
ГП [tex]a_1 ; a_1 q; a_1 q^2[/tex]
[tex]a_ 1 + a _1 q + a _1 q^2 = 76[/tex]
АП [tex]b_1; b_2 ; b_ 3[/tex]
АП [tex]a_1 - 4; a_1 q ; a_ 1 q^2[/tex]
Получаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} a_ 1 q = \frac {a_1 - 4 + a_1 q^2}{2} \\ a_ 1 + a _1 q + a _1 q^2 = 76 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2a_ 1 q = a_1 - 4 + a_1 q^2 \\ a_ 1 q^2 + a _1 q + a _1 = 76 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_1 q^2 -2a_1 q + a _ 1 = 4 \\ a_ 1 q^2 + a _1 q + a _1 = 76 \end{array}[/tex]
Разделяме
[tex]\frac{ \cancel {a_ 1 } (q^2 - 2 q + 1)} { \cancel {a_ 1} (q^2 + q + 1)} = \frac{\cancel {4}}{19 \cancel {.4}} \Leftrightarrow 19q^2 - 38 q + 19 - q^2 -
q - 1 = 0[/tex]
[tex]18q^2 - 39 q + 18 =0 |:3[/tex]
[tex]6q^2 - 13q + 6 =0[/tex]
[tex]D= 13^2 - 4.6^2 = 169 - 144 = 25 = 5^2[/tex]
[tex]q_ {1,2} = \frac {13 \pm 5}{2.6}[/tex]
[tex]q_ 1 =\frac {18}{12} = \frac {3}{2}[/tex]
ГП [tex]a_ 1 + a _1 .\frac {3}{2} + a_ 1 . \frac {9}{4} = 76 \Leftrightarrow 4a_1 + 6a_ 1 + 9 a_1 = 76 . 4 \Leftrightarrow a_ 1 = 16[/tex]
ГП 16; 24 ; 36
[tex]q_ 1 =\frac {8}{12} = \frac {2}{3}[/tex]
ГП [tex]a_ 1 + a _1 .\frac {2}{3} + a_ 1 . \frac {4}{9} = 76 \Leftrightarrow 9a_1 + 6a_ 1 + 4 a_1 = 76 .9 \Leftrightarrow a_ 1 = 36[/tex]
ГП 36; 24 ; 16