Рекурентно зададена редица

[alexander_stoykoff]

Ако се използва рекурентната формула и аксиомата за ПМИ, задачата може да се реши лесно. Според учителката ми обаче, за да е достоверно решението, е необходимо да се използва формулата за общия член, който не мога да намеря.
Благодаря предварително за съдействието!

[Davids]

$а_1 + а_2 + ... а_{n-1} + a_n = 0 + \frac{a_1^2 + 1}{2} + .... + \frac{a_{n-1}^2 + 1}{2}$
$2(а_1 + а_2 + ... а_{n-1}) + 2a_n = a_1^2 + 1 + ... + a_{n-1}^2 + 1$
$2a_n = a_1(a_1 - 2) + ... + a_{n-1}(a_{n-1} - 2) + (n-1).1 = n-1 + \sum_{k=1}^{n-1}a_k(a_k - 2)$
Накрая стигаме до:
$a_n = \frac{ n - 1 + \sum_{k=1}^{n-1}a_k(a_k - 2)}{2}$ (полурекурентен вид, неуспешен опит ), но все пак може да се каже, че с нарастване на $n$ нараства хем $n-1$, хем и сумата (тъй като прибавяме строго положителни членове към нея). Пълна измишльотина е моето, но идея нямам защо й е на госпожата ти да усложнява така, ама... С рекурентна формула и доказване на неотрицателна разлика става на 2 реда Интересно ми е да видя ефективната формула за общия член, наистина

[inveidar]

[tex]a_{n+1} - a_{n} =\frac{{a^2_{n}+1}}{2}-a_n=\frac{a^2_{n}-2a_n+1}{2}=\frac{(a_n-1)^2}{2}\ge0[/tex].
Мисля, че това е достатъчно.

[Davids]

И си абсолютно прав, но това е с рекурентната формула. А на мен наистина ми стана интересно как може да се изведе формула за общия член без рекурентна връзка

[inveidar]

[tex]a_1=0, a_1=\frac{1}{2}, a_{n+2}=\frac{2^{n+2}-5}{2^{n+2}}[/tex]

[Гост]

[tex]a_1=0, a_1=\frac{1}{2}, a_{n+2}=\frac{2^{n+2}-5}{2^{n+2}}[/tex]

Само че, така приведената формула няма нищо общо с дадената редица!?

[inveidar]

[tex]a_1=0, a_1=\frac{1}{2}, a_{n+2}=\frac{2^{n+2}-5}{2^{n+2}}[/tex]

Даааа. Забравил съм квадрата!