Периодична дроб в обикновена

[Гост]

Здравейте.... ☺️ Може ли да ми помогнете с превръщането на тези безкрайни периодични дроби в обикновени:

3, 1(15) =
1, 08(3) =
25, 2(3) =

[Knowledge Greedy]

[tex]3,1[/tex] е ясно. Да видим [tex]0,0(15)[/tex].
Означаваме [tex]x=0,0(15)[/tex]
Очевидно [tex]100x=100.0,0(15)=1,5(15)[/tex]
Значи [tex]100x=1,5+0,0(15)[/tex]
Но това е [tex]100x=1,5+x[/tex]
Така [tex]99x=1,5[/tex]
и имаме [tex]x=\frac{1,5}{99}=\frac{15}{990}=\frac{5}{330}[/tex]
Добавяме забравеното в началото [tex]3,1[/tex] и получаваме
[tex]3,1(15)=3+\frac{1}{10}+\frac{5}{330}=3\frac{38}{330}=3\frac{19}{165}[/tex]

Другите две се основават на [tex]0,(3) =\frac{1}{3}[/tex]
Така [tex]1, 08(3) =1, 08+0,01.0,(3) =1, 08+\frac{1}{3}[/tex]

[Петър Евгениев]

Първата е :3,1(15) или 3,115151515...
х=3,1(15) /.1000
1000х=3115,(15)
х=3,1(15)/.10
10х=31,(15)
Вадиш ги почленно и получаваш 990x=3084
[tex]x=\frac{3084}{990}=\frac{1542}{495}=\frac{514}{165}[/tex]

[Davids]

Принципът е следният: непериодичната част представяме като цяло събираемо, а периодичната част представяме като събираемо, представляващо сумата на безкрайно малка геометрична прогресия. Нека анализираме примерите:
а)
$3,1(15) = 3,1 + 0,0(15)$
Непериодичната част оставяме за накрая, интересното е как да представим $0,0(15)$.
$0,0(15) = \frac{15}{1000} + \frac{15}{1000.100} + \frac{15}{100.100^2} .... + \frac{15}{1000}.(\frac{1}{100})^n$
Както виждаме, това явно е безкрайно малка геометрична прогресия, за която $a_1 = \frac{15}{1000}; q = \frac{1}{100}$
Както би трябвало да си учил (съдейки по задачите ти, си 11. клас и тъкмо сте го взели), формулата за теоретичната сума на безкрайно малка геометрична прогресия е $S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{\frac{15}{1000}}{1-\frac{1}{100}} = .. = \frac{1}{66}$
Е, остава да съберем събираемите :
$3,1(15) = \frac{31}{10} + \frac{1}{66} = \frac{514}{165}$

Е, надявам се схвана за какво иде реч. Ще можеш ли да се справиш сам/а с другите?

[Петър Евгениев]

Второто 1,08(3).
x=1,08(3) /.1000
1000x=1083,(3)
x=1,08(3)/.100
100x=108,(3)
Сега вадиш почленно(лявата страна с лявата и дясната с дясната).
900х=975

[tex]x=\frac{975}{900}=\frac{195}{180}=\frac{13}{12}[/tex]

[Петър Евгениев]

Ами аз го правя по-лесничко
x=25,2(3)
Умножавам по 100
100х=2523,(3)
Умножавам по 10
10х=152,(3)
Вадя почленно
90х=2271
[tex]x=\frac{2271}{90}=\frac{757}{30}[/tex]

Винаги можеш да си провериш дали ти е вярно, като разделиш на калкулатора.
Може да махнеш другите теми в които си го пуснал това същото!

[Knowledge Greedy]

[tex]25, 2(3) =25+0, 2+0,0(3) =25+0, 2+ 0,1.\frac{1}{3}= ...[/tex]

[Nathi123]

В този случай се използва сума на безкрайно нам. геометрична прогресия и да припомня формулата. Ако първият член на прогресията е [tex]a_{1 }[/tex] ,а частното q и |q|<1,то S=[tex]a_{1 }+a_{2}+...=\frac{a_{1 }}{1-q}[/tex].
25,2(3)=[tex]25+\frac{2}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{100}+...+=25+\frac{1}{5}+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{10}}=25+\frac{1}{5}+\frac{1}{30}=25\frac{7}{30}[/tex].

[Гост]

А може ли само да попитам колко ще бъде общият знаменател накрая?

$3,1(15) = \frac{31}{10} + \frac{1}{66} = \frac{514}{165}$

Принципът е следният: непериодичната част представяме като цяло събираемо, а периодичната част представяме като събираемо, представляващо сумата на безкрайно малка геометрична прогресия. Нека анализираме примерите:
а)
$3,1(15) = 3,1 + 0,0(15)$
Непериодичната част оставяме за накрая, интересното е как да представим $0,0(15)$.
$0,0(15) = \frac{15}{1000} + \frac{15}{1000.100} + \frac{15}{100.100^2} .... + \frac{15}{1000}.(\frac{1}{100})^n$
Както виждаме, това явно е безкрайно малка геометрична прогресия, за която $a_1 = \frac{15}{1000}; q = \frac{1}{100}$
Както би трябвало да си учил (съдейки по задачите ти, си 11. клас и тъкмо сте го взели), формулата за теоретичната сума на безкрайно малка геометрична прогресия е $S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{\frac{15}{1000}}{1-\frac{1}{100}} = .. = \frac{1}{66}$
Е, остава да съберем събираемите :
$3,1(15) = \frac{31}{10} + \frac{1}{66} = \frac{514}{165}$

Е, надявам се схвана за какво иде реч. Ще можеш ли да се справиш сам/а с другите?

[Гост]

имам проблем с безкрайната периодична 1,441;
може ли помощ някой бързо

[Евва]

1,(441) =? обикновена дроб
Първо ще превърнем периодичната дроб 0,(441) в обикновена .
Нека х=0,(441)
1 000х=441,(441)
1 000х=441+0,(441)
1 000х=441+х
999х=441
х=[tex]\frac{441}{999}[/tex]

От първия и последния ред следва ,че 0,(441) = [tex]\frac{441}{999}[/tex]
__________________________________________________
1,(441) =1+0,(441) =1+[tex]\frac{441}{999}[/tex] = [tex]\frac{1 440}{999}[/tex]

Отговор [tex]\frac{1 440}{999}[/tex]