Показателно уравнение, по възможност без логаритъм....

[vikatmimatematika]

[tex]3*16^{x}-5*36^{x}+2*81^{x}=0[/tex] хелп отново хдд

[ева]

Ako условието е : 3.[tex]16^{х}[/tex]-5.[tex]36^{х}[/tex]+2.[tex]81^{х}[/tex]=0 ето идеятя ми
делим на [tex]36^{х}[/tex] двете страни на ур-то[tex]\Rightarrow[/tex]
3([tex]\frac{16}{36})^{х}[/tex]-5+2([tex]\frac{81}{36})^{х}[/tex]=0
3([tex]\frac{4}{9})^{х}[/tex]-5+2([tex]\frac{9}{4})^{х}[/tex]=0
полагаме( [tex]\frac{4}{9})^{х}[/tex]=у
3у-5+[tex]\frac{2}{у}[/tex]=0 /.у
3[tex]у^{2}[/tex]-5у+2=0
D=25-24=1
[tex]у_1[/tex]=1 или [tex]у_2[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex] връщаме се към пол.
([tex]\frac{4}{9})^{х}[/tex]=1 или ([tex]\frac{4}{9})^{х}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]х_1[/tex]=0 или [tex]х_2[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]
[tex]х_2[/tex]го намерихме така:([tex]\frac{2}{3})^{2х}[/tex]=([tex]\frac{2}{3})^{1}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]2х=1[tex]\Rightarrow[/tex]х=[tex]\frac{1}{2}[/tex]
отг.0;[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[S.B.]

Още едно мнение:3.[tex]16^{X}[/tex] - 5.[tex]36^{X}[/tex] + 2.[tex]81^{X}[/tex] = 0 може да се запише по следният начин:
3.[tex]4^{2x}[/tex] - 5.[tex]4^{x}[/tex].[tex]9^{x}[/tex] + 2.[tex]9^{2x}[/tex] = 0 ,което е едно хомогенно уравнение
Делим на [tex]9^{2x}[/tex][tex]\ne[/tex]0 и получаваме:
3.[tex](4/9)^{2x}[/tex] - 5.[tex](4/9)^{x}[/tex] + 2 = 0
Полагам [tex](4/9)^{x}[/tex] = t >0 ( защото основата е положителна)
3.[tex]t^{2}[/tex] - 5.t + 2 =0
D=1 и [tex]t_{1 }[/tex] = 1 >0 ; [tex]t_{2 }[/tex] = [tex]\frac{2}{3}[/tex] >0
тогава [tex](4/9)^{x}[/tex] = 1 или [tex](4/9)^{x}[/tex] = [tex](4/9)^{0}[/tex] откъдето [tex]x_{1 }[/tex] =0
за [tex]t_{2 }[/tex] получавам [tex](4/9)^{x}[/tex] = 2/3 или [tex](2/3)^{2x}[/tex] = 2/3 или 2x = 1 и [tex]x_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]