Аритметична и Геометрична прогресия

[itzko_690554]

1/ Геометрична п-я
[tex]q=4 , a_n=-48[/tex]
[tex]S_n=-63[/tex]
[tex]a_1=?[/tex]
[tex]n=?[/tex]
2/ Геометрична п-я
[tex]a_1=?, q=?[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_2+a_5-a_4=10 \\ a_3+a_6-a_5=20 \end{array}[/tex]
3/ Аритметична п-я
[tex]d=?, n=? , ако a_1=30, a_n=-32, S_n=-5[/tex]
4/Сборът на три числа образуващи аритметична п-я е 12 , ако към трето прибавим 2 , ще получим геометрична п-я. Да се намерят тези три числа
5/
[tex]\begin{array}{|l} a_3=12 \\ a_1-a_4=-21 \\S_n=21 \end{array}[/tex]
[tex]a_1=?, q=? , n=?[/tex]

[ева]

4 зад. нека числата са:[tex]а_{1 }[/tex],[tex]а_{2 }[/tex],[tex]а_{3 }[/tex] съставяме с-ма
[tex]а_{1 }[/tex]+[tex]а_{2 }[/tex]+[tex]а_{3 }[/tex]=12 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а_{1 }[/tex]=12-[tex]а_{2 }[/tex]-[tex]а_{3 }[/tex] (1) и зам.в другите две ур-я
2[tex]а_{2 }[/tex]=[tex]а_{1 }[/tex]+[tex]а_{3 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]а_{2 }[/tex]=12-[tex]а_{2 }[/tex]-[tex]а_{3 }[/tex]+[tex]а_{3 }[/tex]
[tex]а_{2 }^{2}[/tex]=[tex]а_{1 }[/tex]([tex]а_{3 }[/tex]+2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а_{2 }^{2}[/tex]=(12-[tex]а_{2 }[/tex]-[tex]а_{3 }[/tex])([tex]а_{3 }[/tex]+2)

[tex]\begin{array}{|l} а_{2 } =12:3=4\\ -а_{2 }^{2}+12а_{3 }+24-а_{2 }а_{3 }-2а_{2 }-а_{3 }^{2}-2а_{3 }=0 \end{array}[/tex]

-16+12[tex]а_{3 }[/tex]+24-4[tex]а_{3 }[/tex]-8-[tex]а_{3 }^{2}[/tex]-2[tex]а_{3 }[/tex]=0 /.(-1)
[tex]а_{3 }^{2}[/tex]-6[tex]а_{3 }[/tex]=0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а_{3 }[/tex]([tex]а_{3 }[/tex]-6)=0
[tex]а_{3 }[/tex]=0 или [tex]а_{3 }[/tex]=6 връщаме се към (1)
[tex]а_{1 }[/tex]=12-4-0=8 или [tex]а_{1 }[/tex]=12-4-6=2
тогава аритм. прогр. са:8;4;0 или 2;4;6

[Петър Евгениев]

Задача 1 [tex]q=4, a_{n}=-48, S_{n}=-63[/tex],[tex]a_{1}, n=?[/tex]
[tex]a_{n}=a_{1}.4^{n-1}=-48[/tex]
[tex]S_{n}=a_{1}\frac{4^{n}-1}{3}=-63[/tex]
Изрази от първото уравнение [tex]a_{1}[/tex] и го замести във воторо и став 1 уравнение с 1 не известно [tex]n[/tex]
[tex]a_{1}.4^{n-1}=-48 \Rightarrow a_{1}=\frac{-48}{4^{n-1}}[/tex]
[tex]S_{n}=\frac{-48}{4^{n-1}}.\frac{4^{n}-1}{3}=-63[/tex]
[tex]\frac{-48}{4^{n-1}}.\frac{4^{n}-1}{3}=-63[/tex] Алгебрата е за те! Решаваш квото решаваш...
[tex]\frac{\cancel{-48}}{4^{n-1}}.\frac{4^{n-1}}{\cancel{3}}[/tex]
[tex]\frac{-16(4^{n}-1}){4^{n}.4^{-1}}=\frac{-16.4(4^{n}-1)}{4^{n}}=-63[/tex]
[tex]16.4(4^{n}-1)=63.4^{n}[/tex]
[tex]16.4.4^{n}-16.4=63.4^{n}[/tex]
[tex]16.4.4^{n}-63.4^{n}=16.4[/tex]
[tex]4^{n}(16.4-63)=16.4[/tex]
[tex]4^{n}(1)=2^{6}[/tex] ([tex]4^{n}=2^{2n}[/tex])
[tex]2^{2n}=2^{6}[/tex]
[tex]2n=6 \Rightarrow[/tex]
[tex]n=3[/tex]
[tex]a_{1}=\frac{-48}{4^{n-1}}[/tex]
Заместваш го това [tex]n=3[/tex]
[tex]a_{1}=\frac{-48}{4^{3-1}}=-3[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]a_{1}=? , q=?[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_{2} + a_{5} - a_{4}= 10 \\ a_{3} +a_{6}-a_{5} = 20 \end{array}[/tex]
[tex]a_{n}=a_{1}.q^{n-1}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_{1}q + a_{1}q^4 - a_{1}.q^{3}= 10 \\ a_{1}.q^{2} +a_{1}q^{5}-a_{1}q^{4} = 20 \end{array}[/tex]
Система с две уравнения с две неизвестни.
Ся тука можеш да решаваш всеедно си мазохист, но може и да се сетиш нещо такова:
[tex]\begin{array}{|l} a_{1}q+a_{1}q^{3}(q-1)= 10 \\ a_{1}.q^{2} +a_{1}q^{4}(q-1) = 20 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{1}q+a_{1}q^{3}(q-1)= 10 \\ a_{1}.q^{2} +a_{1}q^{4}(q-1) = 20 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{1}q(1+q^{2}(q-1))= 10 \\ a_{1}q^{2}(1+q^{2}(q-1)) = 20 \end{array}[/tex]

Това дето се повтаря ще го положа на неква буквичка да не се стреснеш, само буква не хапе!
Полагаме:[tex]t=1+q^{2}(q-1)[/tex] (Защо сега пък ще полагаме? за улеснение)

[tex]\begin{array}{|l} a_{1}q.t=10 \\ a_{1}q^{2}.t=20 \end{array}[/tex]

[tex]a_{1}q=\frac{10}{t} t\ne0[/tex]
Замествам [tex]a_{1}q[/tex], във второто
[tex]a_{1}q^{2}.t=20, a_{1}q.q.t=20, \frac{10}{\cancel{t}}q.\cancel{t}=20 \Rightarrow q=2[/tex]
[tex]a_{1}.2=\frac{10}{t}[/tex]
[tex]a_{1}=\frac{5}{t}[/tex]
[tex]a_{1}=\frac{5}{1+q^{2}(q-1)}, q=2[/tex], заместих [tex]t[/tex] с неговото равно, където положих, а [tex]q[/tex] вече го намерихме
[tex]a_{1}=\frac{5}{1+2^{2}(2-1)}=\frac{5}{5}=1[/tex]

[S.B.]

Ето едно по-малко "мазохистично" решение:
[tex]\begin{array}{|l} а_{2 } + а_{5 } - а_{4 }= 10 \\ а_{3 } + а_{6 } - а_{5 } = 20 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} а_{1 }q + a_{1 }q^{4} - a_{1 }q^{3} = 10 \\ a_{1 }q^{2} + a_{1 }q^{5} - a_{1 }q^{4} = 20 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }q(1 + q^{3} - q^{2})= 10 \\ a_{1 }q^{2}(1 + q^{3} - q^{2}) = 20 \end{array}[/tex] Сега делиш почленно двете уравнения:

[tex]\frac{а_{1 }q(1 + q^{3} - q^{2})}{a_{1 }q^{2}(1 + q^{3} - q^{2})}[/tex] = [tex]\frac{10}{20}[/tex] и получаваш [tex]\frac{1}{q}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] от където q=2
заместваш в първото уравнение : [tex]а_{1 }[/tex].2.(1 + 8 - 4) = 10 или 10.[tex]а_{1 }[/tex] = 10 от където [tex]а_{1 }[/tex] = 1

[ева]

5 зад. Ще намерим [tex]а_{1 }[/tex] и q ,а след това-n.
[tex]\begin{array}{|l} a_{3 }=12 \\ a_{1 } -a_{4 }=-21\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }q^{2}=12 (1)\\ a_{1 }-a_{1 }q^{3}+21=0\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{1 }=\frac{12}{q^{2}} ( зам.)\\ a_{1 }-a_{1 }q^{3}+21=0 \end{array}[/tex]

[tex]\frac{12}{q^{2}}[/tex]-[tex]\frac{12}{q^{2}}[/tex].[tex]q^{3}[/tex]+21=0 /.[tex]q^{2}[/tex][tex]\ne[/tex]0

12-12[tex]q^{3}[/tex]+21[tex]q^{2}[/tex]=0 /:(-3)

4[tex]q^{3}[/tex]-7[tex]q^{2}[/tex]-4=0 Добре е да се досетим да прибавим и извадим нещо [tex]\Rightarrow[/tex]

4[tex]q^{3}[/tex]-8[tex]q^{2}[/tex]+[tex]q^{2}[/tex]+2q-2q-4=0

(2q+[tex]q^{2}[/tex]+4[tex]q^{3}[/tex])-(4+2q+8[tex]q^{2}[/tex])=0

q(2+q+4[tex]q^{2}[/tex])-2(2+q+4[tex]q^{2}[/tex])=0
(q-2)(2+q+4[tex]q^{2}[/tex])=0 [tex]\Rightarrow[/tex] q-2=0 [tex]\Rightarrow[/tex] q=2 връщаме се към (1)
[tex]а_{1 }[/tex].4=12 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а_{1 }[/tex]=3 С намерените [tex]a_{1 }[/tex],q ще намерим -n
[tex]S_{n }[/tex]=[tex]a_{1 }[/tex][tex]\frac{1-q^{n}}{1-q}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 21=3.[tex]\frac{1-2^{n}}{1-2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 7=[tex]\frac{1-2^{n}}{-1}[/tex] ;7=[tex]2^{n}[/tex]-1 ; 8=[tex]2^{n}[/tex] ;[tex]2^{3}[/tex]=[tex]2^{n}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] n=3
Геом.прогр.ще изглежда така:3;6;12;24;...
отг.[tex]а_{1 }[/tex]=3;q=2;n=3

[S.B.]

По различно решение на зад.4
Трите числа ,образуващи аритм.прогресия : a - d , a , a + d
Новата тройка образуваща геом. прогресия : a - d , a , a + d + 2
От условието на задачата съставям система:
[tex]\begin{array}{|l} а - d + a + a + d = 12 \\ a^{2} =(a - d)(a + d + 2) \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 3a = 12 \\ a^{2} =(a - d)(a + d + 2) \end{array}[/tex]
от първото уравнение получавам a=4 , замествам във второто и получавам :[tex]4^{2}[/tex] = (4 - d)(6 + d)
От където получавам : [tex]d^{2}[/tex] + 2d -8 = 0 , корените са :[tex]d_{1 }[/tex] = 2 , [tex]d_{2 }[/tex] = - 4
Получават се 2 аритм. прогресии:
1) 4-2,4,4 +2 или 2 , 4 , 6
2) 4 -(-4), 4 , 4 + (-4) или 8 , 4 , 0