Прогресия

[Гост]

Три числа образуват геометрична прогресия. Ако второто число намалим с 4, новите три числа също образуват геометрична прогресия. Ако третият член на новата прогресия намалим с 9, получаваме аритметична прогресия. Кои са първите три числа?

[Davids]

Указания:
1. Изразяваме първата прогресия чрез $a_1$ и $q$;
2. Ползваме същите две неизвестни, за да изразим и втората прогресия. И тук ползваме свойството на втория член на геометрична прогресия - повдигнат на квадрат дава произведението на съседните си два члена. Оттук намираме втория член на първата прогресия, сиреч $a_1q$;
3. Със същите две променливи изразяваме третата прогресия и вече имайки $a_1q$, ползваме аналогичната на горната зависимост, само че за аритметична прогресия и оттук си намираме двете стойности на частното.
Окончателно трите числа във всеки случай са $1, 2, 4$
П.П.: Отговорът беше променен след корекцията от колегата долу

[Добромир Глухаров]

За трите числа получавам $1;2;4$ или $4;2;1$.

[S.B.]

Трите числа са : а , аq , a[tex]q^{2}[/tex]
Следващата тройка са : а, аq - 4 , a[tex]q^{2}[/tex] ( те също образуват геометрична прогресия);
Следващата тройка са : а, aq - 4 , a[tex]q^{2}[/tex] - 9 (те образуват аритметична прогресия)
Съставям система:
[tex]\begin{array}{|l} (аq - 4)^{2} = a.aq^{2} \\ 2(aq - 4) = a + aq^{2} - 9 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} a^{2}q^{2} - 8aq +16 = a^{2}q^{2} \\ 2aq - 8= a + aq^{2} - 9 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} aq = 2 \\ a(q^{2} - 2q + 1) = 1 \end{array}[/tex]
Делим почленно и получаваме :[tex]\frac{q}{q^{2} - 2q + 1}[/tex] = [tex]\frac{2}{1}[/tex]
след преработка се получава : 2[tex]q^{2}[/tex] - 5q + 2 = 0,което има корени [tex]q_{1 }[/tex] = 2 и [tex]q_{2 }[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] и съответно [tex]а_{1 }[/tex] = 1 и [tex]а_{2 }[/tex] = 4
Получават се 2 тройки числа :1, 2, 4 и 4 ,2, 1