Вписана окръжност

[Гост]

Вписана в тр-к АВС окръжност се допира до ВС и АВ съответно в точките N и M и пресича ъглополовящата CL в точките P и Q.ДА се намери отношението на лицата на тр-те PQМ и PQN,ако [tex]\alpha[/tex]=45,[tex]\gamma[/tex]=60

[Nathi123]

Нека к(О,r) - вписаната в триъг. АВС окръжност. [tex]\Rightarrow CL\cap k = {P,Q}\Rightarrow PQ=2r\Rightarrow \angle PNQ=\angle PMQ=90^\circ[/tex]
[tex]PO=OQ=r\Rightarrow ON[/tex] медиана в триъг. PNQ [tex]\Rightarrow S_{\triangle PQN }=2S_{\triangle OPN } ; ON\bot BC ; \angle OCN=30^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle CON=60^\circ\Rightarrow S{\triangle OPN } = \frac{r^{2}\sqrt{3}}{4} \Rightarrow S_{\triangle PQN }=\frac{r^{2}\sqrt{3}}{2}[/tex].
Аналогично [tex]S_{ \triangle PQM } = 2S_{ \triangle OQM } = 2.\frac{r^{2}sin15^\circ}{2} ( \angle QON= 15^\circ )[/tex] .
[tex]2sin^{2}15^\circ = 1 - cos30^\circ \Rightarrow sin15^\circ = \frac{1}{2}(\sqrt{2-\sqrt{3}})\Rightarrow \frac{S_{PQM }}{S_{PQN }}=\frac{\sqrt{2\sqrt{3}-3}}{3}[/tex] .

[Гост]

за отг. е дадено [tex]\frac{корен кв.от(2-корен от 3)}{2}[/tex]

[Гост]

Техния отговор ли е грешен ? Как получаваме че ъгълът QON=15 ???

[Nathi123]

[tex]\angle QOM=15^\circ[/tex],защото точка О е от CL;[tex]\Rightarrow \angle OCN=\angle ACO=30^\circ; ON \bot BC\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle CON=60^\circ ; \angle ONB=\angle OMB=90^\circ \Rightarrow \angle NOM=180^\circ - \beta ; \beta =180^\circ-60-45=^\circ75^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle NOM=105^\circ\Rightarrow \angle QOM = 180^\circ - 60^\circ - 105^\circ =15^\circ[/tex]
В решението съм писала ,че изразявам лицето на[tex]\triangle QOM[/tex] и грешно съм писала ъгъл QON ( такъв ъгъл в разгл. триъгълник няма ),вместо [tex]\angle QOM = 15^\circ[/tex] . Това не променя резултата ,който съм получила.

[Гост]

Благодаря !