Лице на ромб

[Гост]

Да се намери лицето на ромб ABCD ако е известно,че радиусите на окръжностите,описани около тр-те АВС и ABD са съответно R и r.

[ptj]

Нека пресечената точка на диагоналите е [tex]т.O[/tex].
[tex]\angle BAD=\alpha[/tex]
[tex]BD=2r.sin(\alpha)[/tex]
[tex]AC=2R.sin(180^\circ-\alpha)=2R.sin(\alpha)[/tex]

[tex]BO=\frac{BD}{2}=r.sin(\alpha)[/tex]

[tex]AO=\frac{AC}{2}=R.sin(\alpha)[/tex]

[tex]AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=sin(\alpha)\sqrt{r^2+R^2}[/tex]

[tex]\frac{OB}{AB}=sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}[/tex]

[tex]\frac{OA}{AB}=cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{R}{\sqrt{r^2+R^2}}[/tex]

[tex]sin(\alpha)=2sin(\frac{\alpha}{2}).cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{2R.r}{r^2+R^2}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{4}=r.R.sin^2(\alpha)=\frac{4.r^3.R^3}{(r^2+R^2)^2}[/tex]

[Гост]

Благодаря ! В последния ред формулата не трябва ли да бъде S=AC.BD/2 ?
Дават отг.като вашия,но вместо 4 пише 8.

[Гост]

[tex]S_{ABCD }=\frac{1}{2}AC.BD ![/tex]

[ptj]

Да, коефициента във формулата за лице трябва да е [tex]\frac{1}{2}[/tex].

[ева]

Скрит текст: покажи

Още едно р-е,което е по-трудоемко.

Нека АВ=а ,S(ABCD)=S;AC=? BD=?

[tex]\frac{AB.BC.AC}{4R}[/tex]=S(ABC) ... [tex]a^{2}[/tex]AC=2RS (1)
[tex]\frac{AB.AD.BD}{4r}[/tex]=S(ABD) ... [tex]a^{2}[/tex]BD=2rS (2)
[tex]\triangle[/tex]ABO-правоъг.[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AC^{2}[/tex]+[tex]BD^{2}[/tex]=4[tex]a^{2}[/tex] (3)
Решаваме с-та от 3 ур-я,като считаме S за параметър.
AC=[tex]\frac{2R\sqrt[3]{S}}{\sqrt[3]{r^{2}+R^{2}}}[/tex] ,BD=[tex]\frac{2r\sqrt[3]{S}}{\sqrt[3]{r^{2}+R^{2}}}[/tex]

S=[tex]\frac{AC.BD.sin90^\circ}{2}[/tex]

2S=[tex]\frac{2R\sqrt[3]{S}}{\sqrt[3]{r^{2}+R^{2}}}[/tex].[tex]\frac{2r\sqrt[3]{S}}{\sqrt[3]{r^{2}+R^{2}}}[/tex]

[tex]S^{3}[/tex]=[tex]\frac{8r^{3}R^{3}S^{2}}{(r^{2}+R^{2})^{2}}[/tex]

S=[tex]\frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2}+R^{2})^{2}}[/tex]