Прогресии

[Гост]

Три числа образуват аритметична прогресия. Ако намалим второто с 2 или увеличим третото с 9, то получените три числа образуват две геометрични прогресии. Да се намерят членовете на аритметичната прогресия.

[S.B.]

Първоначалната аритм. прогресия е : a-d , a , a+d
Първата геометрична прогресия е : a - d , a - 2 , a + d
Втората геометрична прогресия е : a - d , a , a + d + 9 Образуваме сиситемата:
[tex]\begin{array}{|l} (а - 2)^{2}= (a - d)(a + d) \\ a^{2} = (a - d)(a + d + 9) \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} a^{2} - 4a +4 = a^{2} - d^{2} \\ a^{2} = a^{2} - d^{2} +9a -9d \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} d^{2}= 4a - 4 \\d^{2}= 9a - 9d \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 4a -4 = 9a -9d
или a = [tex]\frac{9d -4}{5}[/tex] от където [tex]d^{2}[/tex] = [tex]\frac{4(9d - 4)}{5}[/tex] - 4[tex]\Leftrightarrow[/tex] 5[tex]d^{2}[/tex] - 36d + 36 = 0
Това уравнение има корени [tex]d_{1 }[/tex] = 6 и [tex]d_{2 }[/tex] = 1,2 за които получаваме съответно :[tex]а_{1 }[/tex] = 10 и [tex]а_{2 }[/tex] = 1,36
Получаваме две тройки числа : 4 , 10 , 16 и 0,16 , 1,36 , 2,56