Лице на триъгълник

[Гост]

В триъгълник ABC са дадени страните a и b и ъглополовящата l на ъгъла между тях. Да се намери лицето на триъгълника.

[KOPMOPAH]

Ако ъгълът между $a$ и $b$ е $\gamma$ (както обикновено), то можем да напишем равенството $$S=S_1+S_2$$ където $S_1$ и $S_2$ са лицата на триъгълниците, на които ъглополовящата дели цялото лице. Тогава $$\frac 12 ab \sin \gamma= \frac 12 al \sin \frac{\gamma}2+\frac 12 bl \sin \frac{\gamma}2$$ $$2ab \sin \frac{\gamma}2 \cos \frac{\gamma}2=al \sin \frac{\gamma}2+bl \sin \frac{\gamma}2$$ $$2ab \cancel{\sin \frac{\gamma}2} \cos \frac{\gamma}2=al \cancel{\sin \frac{\gamma}2}+bl \cancel{\sin \frac{\gamma}2}$$ $$\cos \frac{\gamma}2=\frac{(a+b)l}{2ab} \Rightarrow \sin \frac{\gamma}2 = \sqrt {1-\left(\frac{(a+b)l}{2ab}\right)^2}$$ $$S=\frac 12 ab \sin \gamma=ab \sqrt {1-\left(\frac{(a+b)l}{2ab}\right)^2}.\frac{(a+b)l}{2ab} =\frac{(a+b)l}2.\sqrt {1-\left(\frac{(a+b)l}{2ab}\right)^2}$$

Има и друго решение, чрез използване на свойствата на ъглополовящата за намиране на третата страна и после Херонова формула, ама и там страданията са огромни.

[Davids]

Ако ъгълът между $a$ и $b$ е $\gamma$ (както обикновено), то можем да напишем равенството $$S=S_1+S_2$$ където $S_1$ и $S_2$ са лицата на триъгълниците, на които ъглополовящата дели цялото лице. Тогава $$\frac 12 ab \sin \gamma= \frac 12 al \sin \frac{\gamma}2+\frac 12 bl \sin \frac{\gamma}2$$ $$2ab \sin \frac{\gamma}2 \cos \frac{\gamma}2=al \sin \frac{\gamma}2+bl \sin \frac{\gamma}2$$ $$2ab \cancel{\sin \frac{\gamma}2} \cos \frac{\gamma}2=al \cancel{\sin \frac{\gamma}2}+bl \cancel{\sin \frac{\gamma}2}$$ $$\cos \frac{\gamma}2=\frac{(a+b)l}{2ab} \Rightarrow \sin \frac{\gamma}2 = \sqrt {1-\left(\frac{(a+b)l}{2ab}\right)^2}$$ $$S=\frac 12 ab \sin \gamma=ab \sqrt {1-\left(\frac{(a+b)l}{2ab}\right)^2}.\frac{(a+b)l}{2ab} =\frac{(a+b)l}2.\sqrt {1-\left(\frac{(a+b)l}{2ab}\right)^2}$$

Има и друго решение, чрез използване на свойствата на ъглополовящата за намиране на третата страна и после Херонова формула, ама и там страданията са огромни.

Tъкмо се захващах да въвеждам същото нещо. Мина ме