Да се намери отношението

[Гост]

В равнобедрения тр.АВС (АС=ВС) на височината CD,като на диаметър,е построена окръжност.През т.А и т.В са построени допирателните AM и BN, продълженията на които се пресичат в точка О.
Да се намери отношението [tex]\frac{АВ}{АС}[/tex] ,ако [tex]\frac{ОМ}{АВ}[/tex]=к и ако височината CD е по-малка от основата АВ.
отг. 2[tex]\sqrt{\frac{к+1}{5к+1}}[/tex]

[Davids]

Усещам хамалщината в този подход, но просто излезе, та ще го представя така... Пък гениалното хрумване ще оставя на някой по-ентусиазиран с повечко свободно време идните дни

Triangle.png (26.44 KiB) Прегледано 311 пъти

Водим се по чертежа, като съобразяваме четири основни неща:
I) имаме по условие, че $\frac{x}{a} = k \Rightarrow x = ak$
II) по свойството на допирателната имаме, че $OM^2 = OC.OD \Rightarrow x^2 = z(z + 2r)$. Оттук следва да достигнем до квадратното уравнение $z^2 + 2rz - x^2 = 0$, откъдето единствено решение за $z$ е $z = \sqrt{r^2 + x^2} - r$
III) от $\Delta ADC$ по Питагорова теорема получаваме $r = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$
IV) последно имаме по Питагорова теорема за $\Delta ADO \Rightarrow (x + \frac{a}{2})^2 = (z + 2r)^2 + \frac{a^2}{4}$

Последното нещо ще го развием стабилно:
$(x + \frac{a}{2})^2 = (z + 2r)^2 + \frac{a^2}{4}$
$x^2 + ax + \cancel{\frac{a^2}{4}} = z^2 + 4zr + 4r^2 + \cancel{\frac{a^2}{4}}$
Заместваме $z$:
$\cancel{x^2} + ax = r^2 + \cancel{x^2} - 2r\sqrt{r^2 + x^2} + r^2 + 4r(\sqrt{r^2 + x^2} - r) + 4r^2$
$ax = 2r^2 - 2r\sqrt{r^2 + x^2} + 4r\sqrt{r^2 + x^2} \cancel{- 4r^2} \cancel{+ 4r^2}$
$ax - 2r^2 = 2r\sqrt{r^2 + x^2} ||^2$
$a^2x^2 - 4r^2ax + \cancel{4r^4} = 4r^2(r^2 + x^2) = \cancel{4r^4} + 4r^2x^2$
$a^2x^2 = 4r^2x(a + x) ||:x$
$a^2x = 4r^2(a + x)$
И сега заместваме $r$ и $x$ в полученото уравнение:
$a^3k = 4.\frac{1}{4}(b^2 - \frac{a^2}{4})(a + ak)$
$4a^2k = (4b^2 - a^2)(k + 1)$
Разкриваме скобите:
$4a^2k = 4b^2k + 4b^2 - a^2k - a^2$
$5a^2k + a^2 = 4b^2k + 4b^2$
$a^2(5k + 1) = 4b^2(k + 1)$
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{4(k + 1)}{5k + 1}$
Коренуваме и стигаме до заветния отговор:
$\frac{a}{b} = 2\sqrt{\frac{k + 1}{5k + 1}}$

Сега оставям опитните да хвърлят светлина върху елегантното решение

[ева]

Ще ползвам чертежа на Davids.Нека АВ=2а,т.Q е центъра на окр.Да изразим АС чрез -а,к.
ОМ=к.АВ (дадено)
[tex]ОМ^{2}[/tex]=ОС.OD (2 ур-е на Davids)
[tex]\frac{\frac{АВ}{2}}{OD}[/tex]=tg(AOD)=[tex]\frac{MQ}{OM}[/tex] Съставяме с-ма:

[tex]\begin{array}{|l} OM=k.AB (зам.) \\ OM^{2}=OC.OD \\AB.OM=2OD.MQ\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} k^{2}AB^{2}=OC.OD\\ AB.k.AB=2OD.MQ (делим ур-та) \end{array}[/tex]

(ползваме OC=OD-CD ) ...OD=2r(k+1) (1)
[tex]\triangle[/tex]OMQ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ADО (1пр.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{QM}{AD}[/tex]=[tex]\frac{OM}{OD}[/tex] ;[tex]\frac{r}{a}[/tex]=[tex]\frac{2ak}{2r(k+1)}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\frac{a\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]ADC-правоъг.[tex]AC^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex]+4[tex]r^{2}[/tex]=[tex]\frac{a^{2}(1+5k)}{k+1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AC=a[tex]\sqrt{\frac{5k+1}{k+1}}[/tex]
тогава [tex]\frac{AB}{AC}[/tex]=[tex]\frac{2a}{\frac{a\sqrt{5k+1}}{\sqrt{k+1}}}[/tex]=2[tex]\sqrt{\frac{k+1}{5k+1}}[/tex]