Задача

[Гост]

Точките М, N и Р са средите на ръбовете AD, BD и CD на триъгълната пирамида ABCD.
Докажете (+чертеж), че равнините, определени от точките A, B, C и M, N, P, са успоредни.

[Davids]

:idea:
Точките М, N и Р са средите на ръбовете AD, BD и CD на триъгълната пирамида ABCD.
Докажете (+чертеж), че равнините, определени от точките A, B, C и M, N, P, са успоредни.

Pyramid.png (30.75 KiB) Прегледано 296 пъти

Доказателството е изключително достъпно Първо, нека си дадем сметка какво ни е достатъчно, за да бъдат две равнини успоредни - две пресекателни прави от едната равнина да са съответно успоредни на други две пресекателни прави от другата равнина. Ами това точно по определение е изпълнено в тази задача, имаш да ползваш едно единствено нещо - средни отсечки: $MN$ свързва средите на $AD$ и $BD$ в триъгълникa $\Delta ABD$, следователно му е средна отсечка и оттам $MN || AB$. Аналогично $NP || PC$ и $PM||AC$.
Но $MN, NP, PC$ лежат в една равнина, както и $AB, BC, CD$ лежат в една равнина, следователно двете равнини са успоредни. ТолкоЗ