Да се намери лицето

[Гост]

Ъглите [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex] на триъгълник удовлетворяват зависимостта cos[tex]\alpha[/tex](на квадрат)+cos[tex]\beta[/tex](на квадрат)+cos[tex]\gamma[/tex](на квадрат)=1.
Да се намери лицето му по дадени R и r на описаната и на вписаната окръжност.

[Nathi123]

[tex]cos^{2}\alpha + cos^{2}\beta + cos^{2}\gamma = 1 \Leftrightarrow \frac{2+cos2\alpha+cos2\beta}{2}+ cos^{2}\gamma=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]1+cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta)+ cos^{2}\gamma=1\Leftrightarrow cos\gamma ( cos\gamma - cos (\alpha - \beta ) )=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \gamma =90^\circ \cup \beta = 90^\circ\cup \alpha =90^\circ[/tex].
Ако [tex]\gamma =90^\circ \Rightarrow c=2R, r=\frac{a+b-c}{2}\Leftrightarrow 2r=a+b-2R \Leftrightarrow 2r + 2R=a+b \Rightarrow[/tex]
[tex]4(r+R)^{2} =a^{2}+b^{2}+2ab\Leftrightarrow 4(r+R)^{2} =4R^{2}+4S|:4\Leftrightarrow S=(r+R)^{2}-R^{2}=r(r+2R)[/tex]
Използвах,че c=2R , т-ма на Питагор и 2S=ab.
Аналогично се доказва,че и в другите два случая S=r(r+2R).

[ева]

Може да използваме,че [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\beta[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]=1-2cos[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\beta[/tex].cos[tex]\gamma[/tex] ,тогава
1-2cos[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\beta[/tex].cos[tex]\gamma[/tex]=1 [tex]\Rightarrow[/tex]
cos[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\beta[/tex].cos[tex]\gamma[/tex]=0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] cos[tex]\alpha[/tex]=0,или cos[tex]\beta[/tex]=0,или cos[tex]\gamma[/tex]=0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=90[tex]^\circ[/tex],или [tex]\beta[/tex]=90[tex]^\circ[/tex],или [tex]\gamma[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]