Ъглите на триъгълник

[Гост]

Да се намерят ъглите на триъгълник,ако медианата,височината и ъглополовящата от един негов връх разделят ъгъла при този връх на четири равни части.
отг.90 градуса,67 градуса и 30 минути,22 градуса и 30 минути

[Davids]

Нека $CM$ е медиана, $CL$ е ъглополовяща, $CH$ е височина. Равните части при върха С ще означим с $x$. Тогава от правоъгълния $\Delta AHC$ следва, че $\angle BAC = 90-3x$ градуса, респективно $\angle ABC = 90 - x$. От триъгълника $AMC$ намираме $\angle AMC = 90 + 2x$. Обаче знаем, че $AM = \frac{c}{2}$ и ще се възползваме от това с две синусови теореми:
$\Delta AMC \Rightarrow \frac{b}{sin(90+2x)} = \frac{c}{2sinx}$
$\Delta ABC \Rightarrow \frac{b}{sin(90-x)} = \frac{c}{sin4x}$
Оттам изразяваме $\frac{c}{b}$ чрез двете пропорции, умножаваме на кръст и получаваме уравнението:
$2sinxcosx = sin4xcos2x$
$sin2x = 2sin2xcos^22x$
$cos^22x = \frac{1}{2}$
И понеже $4x \le 180° \Rightarrow 2x \le 90°$, т.е. $cos2x \ge 0$
$\Rightarrow cos2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
И оттам вече $2x = 45° \Rightarrow x = 22°30'$
Ъглите вече се намират лесно

[Гост]

Благодаря !
Може ли да се реши така,както пише в упътването:
Около триъгълника опишете окръжност и докажете,че центърът и е средата на страната срещу този ъгъл.

[Гост]

Благодаря !
Може ли да се реши така,както пише в упътването:
Около триъгълника опишете окръжност и докажете,че центърът и е средата на страната срещу този ъгъл.

Да. Това е начинът, по който авторите на задачата са я съставили.

[Гост]

Как да докажа,че центърът на описаната окръжност е средата на страната срещу този ъгъл ???

[Davids]

Благодаря !
Може ли да се реши така,както пише в упътването:
Около триъгълника опишете окръжност и докажете,че центърът и е средата на страната срещу този ъгъл.

Може. Ще продължим $CM$ до пресичане на окръжността в точка $M_1$. Знаем за $\angle BAC = 90-3x$, а сега за $\angle BAM_1 = \angle BCM = 3x$, тъй като са вписани срещу една и съща дъга. Следователно $\angle CAM_1 = 90-3x+3x = 90°$, откъдето неминуемо следва, че $CM_1$ е диаметър на окръжността. Само че $CM_1$ разполовява $AB$, но не й е перпендикулярна. И единствената права, за която това може да е изпълнено, е друг диаметър. И оттам доказваме, че $M$ е център на окръжността

[Гост]

Много благодаря !