Триъгълник

[Гост]

Окръжността, вписана в равнобедрен триъгълник, разделя височината към
основата му на две части, които са в отношение 1:3, считано от върха на
триъгълника. Ако основата има дължина 12 cm, дължината на бедрото е:

[Hephaestus]

Равнобедрен триъгълник [tex]\triangle ABC[/tex] [tex](AC = BC)[/tex], нека височината към основата е [tex]CH[/tex].
Тъй като триъгълникът е равнобедрен [tex](AC = BC)[/tex], височината [tex]CH[/tex] се явява и ъглополовяща, и медиана.
[tex]CH -[/tex] медиана [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AH = BH = \frac{1}{2}AB = 6[/tex] cm.
[tex]CH -[/tex] ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] центърът на вписаната окръжност лежи на [tex]CH[/tex].
Да означим центъра с т. [tex]O[/tex], а радиуса на окръжността стандартно - с [tex]r[/tex].
Пресечната точка на окръжността и височината [tex]CH[/tex] да означим с т. [tex]P[/tex]. Според условието [tex]CP : PH = 1 : 3 \Rightarrow[/tex] [tex]\Rightarrow CP = x, PH = 3x[/tex].
[tex]PO = OH = r \Rightarrow 2r = PH = 3x \Rightarrow x = \frac{2}{3}r[/tex]
[tex]CO = CP + PO = x + r = \frac{2}{3}r + r = \frac{5}{3}r[/tex]
От свойството на ъглополовящата [tex]AO[/tex] в [tex]\triangle AHC[/tex] имаме [tex]\frac{CO}{OH} = \frac{AC}{AH} \Rightarrow \frac{\frac{5}{3}\cancel r}{\cancel r} = \frac{AC}{6} \Rightarrow AC = \frac{5}{3}.6 = 10[/tex] cm.