Правилна триъгълна призма

[ева]

Дадена е правилна триъгълна призма АВС[tex]А_{1 }[/tex][tex]В_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex].През върха [tex]В_{1 }[/tex] и през средите на ръбовете А[tex]А_{1 }[/tex] и АС е прекарана равнина.
В какво отношение тя дели обема на призмата ?
отг.13:23

[ева]

Моля да ми помогнете с чертежа.

[Петър Евгениев]

Моля да ми помогнете с чертежа.

123321.png (157.7 KiB) Прегледано 773 пъти

[S.B.]

Без заглавие (13).png (428.65 KiB) Прегледано 758 пъти

Построението на колегата Петър Евгениев е наистина прекрасно,но искам да дам и едно по-подробно описание на построението:
$ т.D $- среда на $CC1$ , $т.E $- среда на $AC$
Построение:
1) В стената $BCC1B1$ -построява се права през т.$B1$ и т.$D$ - пресича пирамидата в $B1D$ ;
2) В стената $ACC1A1$ - построява се права през т.$D$ и т.$E$ - пресича пирамидата е в т.$D$,$E$ и т.[tex]F \in AA1[/tex]
3) В стената $ABB1A1$ - построява се права през т. $F$ и т.$B1$ - [tex]FB1 \cap BA = G[/tex]
Полученото сечение е [tex]B1DEG[/tex]

[ptj]

Решението не е трудно :
1.) Продължи равнината до пресичането и с двете основи.
2.) Намираш съотношенията между обемите на изходната призма и новополучената. И двете имат еднакви височини и по един общ ъгъл в основите.
3.) От новополучената призма вадиш обема на тетраедър, така че да остане един от търсените в задачата обеми.

[Евва]

Както написа ptj,равнината ще пресича и горната основа.
Ще пресече ръб [tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] в една точка.
Може ли да ми пратите такъв чертеж ?
Благодаря предварително.

[S.B.]

Равнината на сечението пресича B1C1 в т.H извън пирамидата

Без заглавие (14).png (393.31 KiB) Прегледано 721 пъти

Както написа ptj,равнината ще пресича и горната основа.
Ще пресече ръб [tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] в една точка.
Може ли да ми пратите такъв чертеж ?
Благодаря предварително.

Да допуснем,че равнината на сечението пресече $A_{1 }C_{1 }$ в т. $H$. Tогава сечението и стената $ACA_{1 }C_{1 }$ ще имат 3 общи точки - $D,E,H$ и двете равнини ще трябва да съвпаднат,което е невъзможно;
Равнината на сечението и $BCC_{1 }B_{1 }$ имат обща точка $B_{1 }$ ,следователно имат и втора обща точка ,а следователно и обща права.
Правата,която пресича $BCC_{1 }B_{1 }$ в т.$D$ ще пресече и $B_{1 }C_{1 }$ в точка $H$ ,както се вижда на чертежа.Тази точка лежи на продължението на $B_{1 }B$ ,а общата права на сечението и $BCC_{1 }B_{1 }$ е правата $B_{1 }H$
Равнината с която се пресича призмата е $\gamma = B_{1 }FH$ , а равнината на сечението на $\gamma$ с призмата е четриъгълника $GEDB_{1 }$
Хубав ден и успешно решаване!

[S.B.]

Без заглавие (14).png

Както написа ptj,равнината ще пресича и горната основа.
Ще пресече ръб [tex]А_{1 }[/tex][tex]С_{1 }[/tex] в една точка.
Може ли да ми пратите такъв чертеж ?
Благодаря предварително.

Да допуснем,че равнината на сечението пресече $A_{1 }C_{1 }$ в т. $H$. Tогава сечението и стената $ACA_{1 }C_{1 }$ ще имат 3 общи точки - $D,E,H$ и двете равнини ще трябва да съвпаднат,което е невъзможно;
Равнината на сечението и $BCC_{1 }B_{1 }$ имат обща точка $B_{1 }$ ,следователно имат и втора обща точка ,а следователно и обща права.
Правата,която пресича $BCC_{1 }B_{1 }$ в т.$D$ ще пресече и $B_{1 }C_{1 }$ в точка $H$ ,както се вижда на чертежа.Тази точка лежи на продължението на $B_{1 }B$ ,а общата права на сечението и $BCC_{1 }B_{1 }$ е правата $B_{1 }H$
Равнината с която се пресича призмата е $\gamma = B_{1 }FH$ , а равнината на сечението на $\gamma$ с призмата е четриъгълника $GEDB_{1 }$
Хубав ден и успешно решаване!

Сега пак прегледах чертежа.Правата през $ED$,която пресича $B_{1 },C_{1 }$ в т. $H$ пресича и продължението на $A_{1 }C_{1 }$ в някаква т.$L$ ,която не съм отразила на чертежа.Може би правата $HL$ е пресечницата на равнината $A_{1 }B_{1 }C_{1 }$ с равнината $\gamma$ $?$

[Гост]

Решението не е трудно :
1.) Продължи равнината до пресичането и с двете основи.
2.) Намираш съотношенията между обемите на изходната призма и новополучената. И двете имат еднакви височини и по един общ ъгъл в основите.
3.) От новополучената призма вадиш обема на тетраедър, така че да остане един от търсените в задачата обеми.

Нищо не се разбира! Каква новополучена призма? Какъв общ ъгъл? Какъв тетраедър вадиш?
Може ли малко по-разбрано?

[KOPMOPAH]

Правилна триъгълна призма.png (26.83 KiB) Прегледано 666 пъти

Приемаме всички ръбове на призмата за $2$ (не сантиметра, метра и пр., а просто $2$).

Лицето на основата й е $B=\sqrt 3$, обемът $V=2\sqrt 3$.

Триъгълниците $\triangle FBE$, $\triangle ECD$ и $\triangle DC_1L$ са равнобедрени, правоъгълни и еднакви, откъдето следва, че $FB=BE=EC=CD=DC_1=C_1L=1$.

Триъгълниците $\triangle FBG$ и $\triangle GAA_1$ са подобни, откъдето следва, че $BG:GA=BF:AA_1=1:2$, $BG=\displaystyle \frac 23$.

Намираме обема на триъгълната пирамида $V_{ALB_1F}=\displaystyle \frac 13\cdot \frac{3.3}2\cdot \sqrt 3=\frac {3\sqrt 3}2$.

Намираме обема на триъгълната пирамида $V_{BGEF}=\displaystyle \frac 13\cdot \frac 12\cdot \frac 23\cdot 1\cdot \sin 60^\circ.1=\frac{\sqrt 3}{18}$.

Намираме обема на триъгълната пирамида $V_{DC_1LA_1}=\displaystyle \frac 13\cdot \frac 12\cdot 1\cdot 1\cdot \sqrt 3=\frac{\sqrt 3}{6}$.

Обемът на частта от триъгълната призма, оставаща над равнината на сечението е $$V_1=V_{ALB_1F}-V_{BGEF}-V_{DC_1LA_1}=\displaystyle \frac {3\sqrt 3}2-\frac{\sqrt 3}{18}-\frac{\sqrt 3}{6}=\frac{23\sqrt 3}{18}$$
От обема на цялата призма $V=2\sqrt 3=\displaystyle \frac{36\sqrt 3}{18}$ вадим $V_1=\displaystyle\frac{23\sqrt 3}{18}$ и получаваме за обема на частта, останала под равнината на сечението $V_2=\displaystyle\frac{13\sqrt 3}{18}$, откъдето получаваме окончателното съотношение на двете части $$\displaystyle \frac {V_2}{V_1}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{13\sqrt 3}{18}}{\displaystyle \frac{23\sqrt 3}{18}}=\frac {13}{23}$$.

П.П. Излезе малко повече от трите точки на колегата, дано той сподели своето решение.
П.П.П. Надявам се, че е достатъчно разбрано за Гост, но съм готов да отговоря и на допълнителни въпроси

[ptj]

В мнението ми имаше техническа неточност: "новополучения" многостен е пресечена пирамида.
Ще използвам последния чертеж на колегата:

[tex]C_1DFB[/tex] е успоредник, сл. [tex]BF=C_1D=\frac{CC_1}{2}\Rightarrow FB:FB_1=1:3\Rightarrow B_1L=\frac{3}{2}BC[/tex]

[tex]GB:A_1B_1=FB:FB_1\Rightarrow GB=\frac{1}{3}A_1B_1[/tex]

За по кратък запис ще приемем: [tex]V_{ABCA_1B_1C_1}=V, S_{ABC}=S, AA_1=h[/tex]

[tex]V_{AC_1LD}=\frac{1}{3}S_{AC_1L}.C_1D=\frac{1}{3}\frac{S}{2}.\frac{h}{2}=\frac{V}{12}[/tex]

[tex]V_{BEGB_1LA_1}=\frac{1}{3}BB_1(S_{BEG}+S_{B_1AL}+\sqrt{S_{BEG}.S_{B_1AL}})=\frac{h}{3}(\frac{S}{6}+\frac{3S}{2}+\sqrt{\frac{S}{6}.\frac{3S}{2}})=\frac{h}{3}(\frac{S}{6}+\frac{9S}{6}+\frac{3S}{6})=\frac{13}{18}h.S=\frac{13}{18}V[/tex]

[tex]V_{GBEA_1BD}=V_{BEGB_1LA_1}-V_{AC_1LD}=V(\frac{13}{18}-\frac{1}{12})=\frac{26-3}{36}V=\frac{23}{36}V[/tex],

сл. равнината [tex](А_1DE)[/tex] дели изходната призма в съотношение [tex]23:13[/tex].

[Гост]

Ми то последното решение не е много по-различно от другото и защо C1DFB е успоредник???

[ptj]

Защото трябва да те върнат в 7-ми клас.