Tригонометрични уравнения - теория

[Гост]

Здравейте, в учебника пише, че уравнението [tex]sinx=a[/tex] има решения [tex]x=\alpha+2k\pi[/tex] и [tex]x=\pi-\alpha+2k\pi[/tex], където [tex]sin\alpha=a[/tex], [tex]\alpha\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/tex] и разбира се [tex]a\in[-1;1][/tex]
Само не разбирам, защо [tex]\alpha\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/tex] е така? То е така и за трите основни уравнения, но защо?

[Davids]

Здравейте, в учебника пише, че уравнението [tex]sinx=a[/tex] има решения [tex]x=\alpha+2k\pi[/tex] и [tex]x=\pi-\alpha+2k\pi[/tex], където [tex]sin\alpha=a[/tex], [tex]\alpha\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/tex] и разбира се [tex]a\in[-1;1][/tex]
Само не разбирам, защо [tex]\alpha\in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/tex] е така? То е така и за трите основни уравнения, но защо?

Отговорите, записани в този вид, в който ти ги дават, просто обхващат този интервал за $\alpha$ така че да не се припокриват интервалите на отговора. По принцип записаното равенство като решение е вярно за абсолютно всяка стойност на $\alpha$, но конвенцията повелява, да се започне от най-близкия до нулата корен и от него да се запише интервалът. Но точно това е идеята на частта с $2k\pi$ - да покаже, че за което и да е $k$ стойността е решение. Просто е най-логично да започнем от $k = 0$ и да подредим двата корена по големина (т.е. първият да е по-малък в записа). Та затова е и ограничението в конвенционалния запис. На практика не е проблем и да кажем, че $\alpha = 100^{\circ}$ например, но тогава подредбата на отговорите ни би изглеждала така: $x_1 = \alpha + 2k\pi = 100 + 2k\pi; x_2 = \pi - \alpha + 2k\pi = 80 + 2k\pi$. И за $k = 0$ например двойката решения ще е $100, 80$. А математиката просто е приела за по-естетично да ги обявиш в реда $80, 100$, т.е. вместо $\alpha = 100$ да си избереш еквивалентната му стойност, запазваща равенството, но влизаща в интервала $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ - а именно $\alpha = 80^{\circ}$. Това е цялата философия И аз като теб съм се чудил. Но със сигурност не е стриктно изискване, по-скоро просто е прието

П.П. Качил си темата два пъти