Задача.

[xfabulouskilljoyxx]

[tex]sin^{2}[/tex]([tex]\alpha[/tex]-[tex]\frac{П}{6}[/tex]) + [tex]sin^{2}[/tex]([tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{П}{6}[/tex]) - [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] =

Като П=180°.
Дадоха ми тази задача и се опитах да я реша, но не успях. Моля някой да помогне.

[Добромир Глухаров]

$sin^2(\alpha-30^\circ)+sin^2(\alpha+30^\circ)-sin^2\alpha=\\=sin^2(\alpha-30^\circ)+(sin(\alpha+30^\circ)+sin\alpha)(sin(\alpha+30^\circ)-sin\alpha)=\\=sin^2(\alpha-30^\circ)+2sin(\alpha+15^\circ)cos15^\circ.2sin15^\circ cos(\alpha+15^\circ)=\\=sin^2(\alpha-30^\circ)+sin30^\circ.sin(2\alpha+30^\circ)=\\=\frac{1-cos(60^\circ-2\alpha)}{2}+\frac{sin(2\alpha+30^\circ)}{2}=\\=\frac{1}{2}+\frac{sin(2\alpha+30^\circ)-sin(30^\circ+2\alpha)}{2}=\frac{1}{2}$

[ева]

2 начин
[tex]sin^{2}[/tex]([tex]\alpha[/tex]-30[tex]^\circ[/tex])+[tex]sin^{2}[/tex]([tex]\alpha[/tex]+30[tex]^\circ[/tex])-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=

=[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha-\frac{1}{2}cos\alpha)^{2}[/tex]+[tex](\frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha+\frac{1}{2}cos\alpha)^{2}[/tex]-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=

=[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-2.[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex].[tex]\frac{1}{2}[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+2.[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex].[tex]\frac{1}{2}[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{1}{4}[/tex][tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=

=[tex]\frac{6}{4}[/tex][tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{2}{4}[/tex][tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=

=[tex]\frac{3}{2}[/tex][tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex]([tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex])=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[S.B.]

Трети начин:
[tex]sin^{2}[/tex]([tex]\alpha[/tex] - 30) + [tex]sin^{2}[/tex]([tex]\alpha[/tex] + 30) - [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] =
[tex]\frac{1 - cos2(\alpha - 30)}{2}[/tex] + [tex]\frac{1 - cos2(\alpha + 30)}{2}[/tex] - [tex]\frac{1 - cos2\alpha}{2}[/tex] =
[tex]\frac{1 - cos2(\alpha - 30) + 1 - cos2(\alpha + 30) - 1 + cos2\alpha}{2}[/tex] =
[tex]\frac{1 + cos2\alpha - ( cos2(\alpha - 30) + cos2(\alpha + 30))}{2}[/tex] =
[tex]\frac{1 + cos2\alpha - 2cos\frac{2\alpha - 60 + 2\alpha + 60}{2}.cos\frac{2\alpha -60 -2\alpha -60}{2}}{2}[/tex] =
[tex]\frac{1 + cos2\alpha - 2cos2\alpha.cos(-60)}{2}[/tex] = [tex]\frac{1 + cos2\alpha - 2cos2\alpha.\frac{1}{2}}{2}[/tex] =
[tex]\frac{1 + cos2\alpha - cos2\alpha}{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]