Правилна четириъгълна пирамида с вписан куб

[mito450]

В правилна четириъгълна пирамида е вписан куб, така че четирите му върха са върху апотемите на пирамидата, а другите четири - в равнината на основата. Всички ръбове на пирамидата са с дължина a. Намерете лицето на повърхнината и обема на куба.

Отг.: [tex]\frac{3а^{2}}{4}[/tex] ;[tex]\frac{a^{3}\sqrt{2}}{32}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Чертежът в началото.png (7.92 KiB) Прегледано 398 пъти

Нека разгледаме едно диагонално сечение на куба с означена дължина на ръба [tex]x[/tex] (Това сечение е заградено с червен пунктир). Диагоналът на основата на куба е [tex]x\sqrt{2}[/tex]

Сечението погледнато отгоре.png (3.17 KiB) Прегледано 403 пъти

То ще се съдържа в осно сечение на пирамидата, прекарано през двойка срещулежащи апотеми (Част от това сечение е оцветена в синьо. Идеята е да се проследи леко прехода към планиметрична задача.).
А това е сечението на пирамидата, съдържащо сечението на куба.

Сечението погледнато откъм ръба BC.png (5.03 KiB) Прегледано 403 пъти

Всички резултати от пресмятания според условието, дотук са върху чертежа.
Сега свързваме неизвестното с дадената дължина на ръба на пирамидата посредством отношение между съответните страни на сините подобни триъгълници.
[tex]\frac{x}{\frac{a-x\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}}[/tex]
Равенството е равносилно на [tex]2x\sqrt{2}=a[/tex]
Намираме [tex]x=\frac{a\sqrt{2}}{4}[/tex].
Вече е лесно [tex]S=6x^2=6.\left ( \frac{a\sqrt{2}}{4} \right )^2= \frac{3a^2}{4}[/tex]
[tex]V=x^3=\left (\frac{a\sqrt{2}}{4} \right )^3=\frac{a^3\sqrt{2}}{32}[/tex]