Благодаря предварително.

[Гост]

Ръбът на куб ABCDA1B1C1D1 е 1. Точките P,Q и М принадлежат съответно на ръбовете АА1 А1В1 и С1D1 и АР=QB1=D1M= n, n(0;1). Намерете лицето на сечението на равнината(PQM) с куба.

[Davids]

Cube.png (33.22 KiB) Прегледано 267 пъти

Сините отсечки са въпросните $AP = QB_1 = D_1M = n$.
Ще обяснявам по-малко, повече съображения от чертежа ще оставям на читателя
Имаме равнобедрен правоъгълен $\Delta PQA_1$, с бедро $PA_1 = A_1Q = 1 - n$. Тогава $PQ = \sqrt{2}(1 - n)$.
Аналогично $MN = \sqrt{2}n$.

Сечението се явява четириъгълникът $PQMN$, който е равнобедрен трапец (защо? ). Намерили сме му двете основи вече, остана височината. С тази цел съм разчертал другия четириъгълник $A_1GHD_1$, който е правоъгълен трапец с малка основа $A_1G = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - n)$ и голяма основа $D_1H = \frac{\sqrt{2}}{2}n$ и по-малко бедро $A_1D_1 = 1$. От този трапец по Питагорова теорема ще намерим второто бедро, което ни се явява и височина за другия:
$GH^2 = A_1D_1^2 + (D_1H - A_1G)^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}n - \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - n))^2 = 1 + (\sqrt{2}n - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 + 2n^2 - 2n + \frac{1}{2}$
$\Rightarrow GH = \sqrt{2n^2 - 2n + \frac{3}{2}}$

И така $S_{MNPQ} = \frac{PQ + MN}{2}.GH = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{2n^2 - 2n + \frac{3}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{4n^2 - 4n + 3}$