стереометрия тест

[Гост]

Здравейте,
тоя вторник ще имам тест на стереометрия и ми трябва малко помощ с решението на някои от задачите(другата паралелка са снимали и двата варианта на теста )
5.1 - Даден е куб ABCDA1B1C1D1 . Котаненсът на ъгълът който правата BD1 сключва с равнината ADD1A1 е ....

6.1 - Триъгълна пирамида ABCD има за основа триъгълник ABC, в който AC=8, BC=5 и \angleACB=60[tex]^\circ[/tex] Всички околни ръбове сключват с основата ъгъл 60^\circ. Намерете околните ръбове на пирамидата

6.2 - Основата на триъгълна пирамида ABCD е правоъгълен триъгълник ABC, който има радиус на описаната окръжност 5 и остър ъгъл tan\alpha=3/4. Околните ръбове сключват с равнината на основата ъгъл 30^\circ. Намерете cos BDC.

От 1 до 4(5 на втори вариант) съм ги решил, обаче тия ме мъчат.

[Random]

Забравих да се логна

[Davids]

5.1. Тук ключовият въпрос е кой е точно този ъгъл между правата $BD_1$ и равнината $(ADD_1A_1)$. И трябва да си спомниш дефиницията за ъгъл между права и равнина, а именно, че това е ъгълът между дадената права и нейната ортогонална проекция върху равнината. Тук правата ти е диагоналът $BD_1$, а неговата проекция е диагоналът на околната стена $ADD_1A_1$ - $AD_1$ (Защо? Ще оставя на теб да си отговориш ).
Следователно те интересува $\angle AD_1B$, чийто тангенс много лесно намираш от едноименния му правоъгълен триъгълник
И така $tg \angle AD_1B = \frac{AB}{AD_1} = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

[Davids]

6.1. По косинусова теорема намираме от основата $AB = \sqrt{8^2 + 5^2 - 2.8.5.cos60^{\circ}} = 7$. Тогава лицето на основата е $B = \frac{5.8.sin60}{2} = 10\sqrt{3}$.
Фактът, че околните ни ръбове сключват равни ъгли с равнината на основата, означава, че проекцията на върха на пирамидата съвпада с центъра на описаната около триъгълника окръжност $O$ (Защо? Отново ще си отговориш сам ). Тогава околния ръб можем да намерим, ако намерим радиуса на описаната. Него ще го намерим от формулата за лице на триъгълник, която го включва:
$B = 10\sqrt{3} = \frac{8.5.7}{4R} \Rightarrow R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$.
И тогава от триъгълник $\Delta AOD$ например, който е правоъгълен, можем да изведем:
$cos\angle OAD = cos60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{AO}{AD} = \frac{R}{l} = \frac{7}{\sqrt{3}l}$
$\Rightarrow l = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

[S.B.]

Зад.6.2Ако правилно съм разбрала,основата е правоъг.триъгълник с остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] и tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex],R на оп.окръжност = 5,околните ръбове сключват с р - ната на основата равни ъгли = 30[tex]^\circ[/tex] и се търси cos[tex]\angle[/tex]BDC ?
[tex]\triangle[/tex]ABC е правоъгълен и ако AB e хипотенуза,то центърът на оп.окръжност лежи на AB и тогава AB = 2R = 10;
Ако [tex]\angle[/tex]А=[tex]\alpha[/tex] и tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex] то tg[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{BC}{AC}[/tex] = [tex]\frac{3}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BC= 3x и AC = 4x По Питагор :[tex]АB^{2}[/tex] = [tex]AC^{2}[/tex] + [tex]BC^{2}[/tex] или [tex]10^{2}[/tex] = [tex](3х)^{2}[/tex] + [tex](4х)^{2}[/tex] от където х=2 и BC = 6 и AC = 8; Околните ръбове сключват равни ъгли с основата [tex]\Rightarrow[/tex] върхът D се проектира върхъ центъра на описаната около [tex]\triangle[/tex]ABC окръжност т.H[tex]\in[/tex]AB и AH = BH = CH =R =5;[tex]\triangle[/tex]ADH[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]BDH[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]CDH (DH - обща,прав ъгъл и ъгъл 30[tex]^\circ[/tex])
[tex]\Rightarrow[/tex] AD = BD = CD = R.cos30[tex]^\circ[/tex] = [tex]\frac{5\sqrt{3}}{2}[/tex];
[tex]\triangle[/tex]BDC е равнобедрен (BD = CD = [tex]\frac{5\sqrt{3}}{2)}[/tex]);За[tex]\triangle[/tex]BDC прилагам косинусова теорема,като [tex]\angle[/tex]BDC= [tex]\gamma[/tex]
[tex]BC^{2}[/tex] = [tex]BD^{2}[/tex] + [tex]CD^{2}[/tex] - 2.BD.CD.cos[tex]\gamma[/tex][tex]\Rightarrow[/tex] [tex]6^{2}[/tex] =2.[tex](\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}[/tex] - 2[tex](\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}[/tex].cos[tex]\gamma[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex] 36 = 2.[tex]\frac{25.3}{4}[/tex](1 - cos[tex]\gamma[/tex]) [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{24}{25}[/tex] = 1 - cos[tex]\gamma[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\gamma[/tex] = [tex]\frac{1}{25}[/tex] или cos[tex]\angle[/tex]BDC = [tex]\frac{1}{25}[/tex]
Успех утре на теста!

[Random]

Много благодаря!