Тригонометрично уравнение

[Гост]

Здравейте, уравнението [tex]cosx=0[/tex] пише, че решенията му са [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], но ако използвам теорията дадена в учебника:
[tex]cosx=0, cosx=cos(\frac{\pi}{2}) , x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]. Някой, ако ми обясни, защо не съвпада ще съм благодарен.
Разбирам това, че [tex]cosx[/tex] е равно на нула при [tex]90, 270, ..[/tex]
Още един въпрос, когато решавам тригонометрични уравнения и след разлагане получа някое от тези основни уравнения равни на нула, трябва директно да изпозлвам отговора на готово или да ги реша по теорията дадена от учебника. Мога да ги наизустя, но не е това целта.

[ptj]

Двата класа решения на уравнението [tex]cos x =0[/tex], т.е. [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] и [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] могат да се запишат и по други начини.

Например:
1.)[tex]x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]
2.)[tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
3.)[tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, x= \frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex]
...

И трите примера горе описват едно и също множество от решения и всеки един от тях е правилен.

Когато решавате подобни тригонометрични уравнения (примерно [tex]sin \frac{5x}{2}-\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow sin \frac{5x}{2}=\frac{1}{2}[/tex]) винаги най-напред се определя дали дадената тригонометрична функция е периодична и какъв точно е нейния период. Например [tex]sin(x),cos(x)[/tex] са периодични с период [tex]2\pi[/tex], докато [tex]tg(x), ctg(x)[/tex] не са.

Втората стъпка е да определите всички решения в интервала от 0 до големината на периода. Конкретно за разглеждания пример в интервала [tex][0;2\pi)[/tex] пример имаме 2 решения [tex]\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{6}[/tex] и [tex]\frac{5x}{2}=\frac{5\pi}{6}[/tex] ( в градуси [tex]30^\circ[/tex] и [tex]150^\circ[/tex]).
Най-лесно тe се определят като си нарисувате единичната окръжност и видите къде съответния перпендикуляр за синуса на ъгъла има големина [tex]\frac{1}{2}[/tex].

Третата е да запишите обшия вид на решенията като към всяко от горните добавите периода умножен с цяло число, т.е.

[tex]\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex] и [tex]\frac{5x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2l\pi[/tex]

Четвърта - (ако е нобходимо) извършвате допълнителни преобразувания и записвате решението по подходящ начин:

[tex]\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi\Leftrightarrow 5x=\frac{2\pi}{6}+4k\pi\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{15}+\frac{4k\pi}{5}[/tex]

[tex]\frac{5x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2l\pi\Leftrightarrow 5x=\frac{10\pi}{6}+4l\pi\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+\frac{4l\pi}{5}[/tex]

[tex]k,l\in Z[/tex]
Добре е да използвате различни букви за целите числа, защото между различните класове решения няма връзка.

П.П.
Възможно е накрая да обедините всички решения в един запис, но на първоначалния етап - не ви го препоръчвам.