Тригонометрични уравнения

[Гост]

Здравейте! Въпроса ми е дали това решение е математически прието. И като цяло дали се използва?
[tex]tg2x=3[/tex]
Нека [tex]\alpha[/tex] е острият ъгъл, за който [tex]tg\alpha=3[/tex]. Тогава.
[tex]2x=\alpha+k\pi[/tex], [tex]x=\frac{\alpha}{2}+k.\frac{\pi}{2}[/tex]
И защо пише острият ъгъл.

[ptj]

"Остър" ъгъл и даден тангенс определят еднозначно ъгъла, защото знаем също знаците на синуса и косинуса.

[tex]arc(tg(3))=\frac{\pi}{3}[/tex], затова в твоя случай [tex]x=\frac{\pi}{6}=30^\circ[/tex]

"Остър" е всеки ъгъл по-голям от [tex]0^\circ[/tex] и по-малък от [tex]90^\circ[/tex].

Функцията [tex]tg(x)[/tex] e строго растяща и непрекъсната в интервала [tex](0;\frac{\pi}{2})[/tex], затова приема всяка стойност [tex](0;+\infty)[/tex] точно веднъж.

[tex]\lim_{x \to 0, x>0}tg(x)=0[/tex]

[tex]\lim_{x\to \frac{\pi}{2}, x<\frac{\pi}{2}}tg(x)=+\infty[/tex]

[Гост]

Окей, ми как се обединяват групи от решения в едно.

[Добромир Глухаров]

@ptj:

$arctg(3)\approx71^\circ33'54''\neq\frac{\pi}{3}$

$tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

[Добромир Глухаров]

Окей, ми как се обединяват групи от решения в едно.

Можем да си помогнем, като за нагледност нанесем всички решения като точки върху тригонометричната окръжност. После търсим групи от точки, които в последователност отстоят на равни ъгли - записваме ги като аритметични прогресии, например $x=\alpha+k\cdot\frac{\pi}{7}$ е аритметичната прогресия $\cdots,\alpha-3\cdot\frac{\pi}{7},\alpha-2\cdot\frac{\pi}{7},\alpha-\frac{\pi}{7},\alpha,\alpha+\frac{\pi}{7},\alpha+2\cdot\frac{\pi}{7},\alpha+3\cdot\frac{\pi}{7},\cdots$.

Освен това например редицата $\cdots,-\frac{\pi}{9}-3\pi,\frac{\pi}{9}-2\pi,-\frac{\pi}{9}-\pi,\frac{\pi}{9},-\frac{\pi}{9}+\pi,\frac{\pi}{9}+2\pi,-\frac{\pi}{9}+3\pi\cdots$, която е решение на уравнението $sinx=sin\frac{\pi}{9}$, можем да запишем $x=(-1)^n\frac{\pi}{9}+n\pi$.

В момента не се сещам за други по-специални случаи, в които може да се извърши обединение.

[ptj]

@ptj:

$arctg(3)\approx71^\circ33'54''\neq\frac{\pi}{3}$

$tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

Съгласен.