sinx+cosx=1

[Гост]

Здравейте, уравнението [tex]sinx+cosx=1[/tex]
Аз намирам решенията [tex]x=k\pi[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
А за отговор са дали [tex]x=2k\pi[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]
Дори без да проверявам с числа се сещам, че моето решение е цялата абсциса и цялта ордината на тригонометричната окръжност, а тяхното решение е само положителната абсциса и положителната ордината.
[tex]sinx+cosx=1[/tex]
[tex]sin^{2}x+2sinxcosx+cos^{2}x=1[/tex]
[tex]1+2sinxcosx=1[/tex]
[tex]2sinxcosx=0[/tex]
[tex]sinx=0[/tex]
[tex]cosx=0[/tex]
[tex]x=k\pi[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
След това пробвах по друг начин.
[tex]sinx+sin(\frac{\pi}{2}-x)=1[/tex]
[tex]2sin(\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2})cos(\frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2})=1[/tex]
[tex]2sin\frac{\pi}{4}cos(x-\frac{\pi}{4})=1[/tex]
[tex]\sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})=1[/tex]
[tex]cos(x-\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]cos(x-\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex]
[tex]x=2k\pi[/tex]
[tex]x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]
И така по втория начин се получава напълно отговора.
Въпроса ми е къде е грешката в първия начин?

[ptj]

Грешката ти е, че на втория ред получаваш уравнение-следствие.
По-точно забравяш да ограничиш дефиниционното множество, така че уравнението от втория ред да е еквивалентно на даденото (първия ред).
Т.е. трябваше да запишеш ограничение [tex]sin(x)+cos(x)\ge 0[/tex].

Вида, в който си записал първото решение, е еквивалентно на [tex]sin(x)+cos(x)=\pm1[/tex].