Грешка в задача за математическа индукция

[Гост]

Здравейте! Така и не мога да открия грешката в тази задача. Къде е уловката?

Открийте грешката в следното индукционно доказателство:
Ако един човек в една група от хора е рус, то всички са руси.

Доказателство:
А) n = 1. Тук предположението е правилно тривиално.
Б) Предположението важи за групи с големина n.
Нека от n+1 души бъде един рус. Нека разгледаме този човек заедно с още n-1 други души. Тогава ще бъдат след допускане тези n-1 души също руси. Следователно в групата на тези n-1 души заедно с все още неразгледаните души има поне един рус, от което следва, че последният човек също трябва да бъде рус.

[pal702004]

Тогава ще бъдат след допускане тези n-1 души също руси. Следователно в групата на тези n-1 души заедно с все още неразгледаните души има поне един рус

Вярно ли е това при $n=1$? Невярно избрана база - тук базата трябва да е $n=2$ (която, естествено, няма как да се докаже).

Въобще, като се използва рекурсия с дълбочина 2, базите на индукцията трябва да са две.

Например, твърдение: За всички естествени $a,b,n$ е вярно $a^n+b^n$ се дели на $a+b$
Доказателство:
База $n=1$ - вярно
Индукционен преход

$a^{k+1}+b^{k+1}=(a+b)(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})$

Умаляемото очевидно се дели на $a+b$, умалителя, по допускане - също, така че твърдението е вярно за всички ествествени $n$