Доказателство с математическа индукция

[Гост]

Здравейте! Стигам с решението на задачата до някъде, но след това не знам как да продължа. Как трябва да постъпя, след като заместя с n+1?

Докажете, че [tex]4n^2 \le 2^n[/tex] за [tex]n\ge 0[/tex]

[Davids]

Нещо не ми се струва вярно това, което ще доказваме... Я виж пак условието?

[Добромир Глухаров]

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline \\4n^2&0&4&16&36&64&100&144&196&256&324\\ \hline \\2^n&1&2&4&8&16&32&64&128&256&512\end{array}$

$4n^2\leq2^n,\ n\geq8$

$n=8\Rightarrow256=256$

$n=k\Rightarrow4k^2\leq2^k$

$n=k+1\Rightarrow4(k+1)^2=4k^2+8k+4\leq2^k+8k+4\leq2^k+2^k=2^{k+1}$

$8k+4\leq2^k,\ k\geq8$

$k=8\Rightarrow68<256$

$k=l\Rightarrow8l+4\leq2^l$

$k=l+1\Rightarrow8(l+1)+4=(8l+4)+8\leq2^l+8\leq2^l+2^l=2^{l+1}$