Редица - 11 клас

[Гост]

Дадена е редицата [tex]{а_{n } }[/tex] с равенствата [tex]a_{1 }[/tex] = 2, [tex]a_{2 }[/tex] = 3 и [tex]a_{n+1 }[/tex] = 3[tex]a_{n }[/tex] - 2[tex]a_{n-1 }[/tex] при n[tex]\ge[/tex]2.
Докажете, че [tex]a_{n }[/tex] = [tex]2^{n-1}[/tex] + 1 при n [tex]\in[/tex] N.
Не разбирам как трябва да подходя към тази задача. Благодаря предварително за помощта.

[Knowledge Greedy]

Проверките на частни случаи ще ни убедят да използваме индукция.

[grav]

Всеки член се определя еднозначно от предходните два. След като са дадени първите два, то редицата е напълно определена т.е. има само една такава редица. Заместваме и виждаме, че дадената редица удоволетворява рекурентното условие, значи е тя.

[inveidar]

Доста по-удачно би звучало условието: Намерете формулата за общия член на редицата. Тогава задачата става интересна.

[Гост]

Може ли малко помощ с решението?

[S.B.]

Дадена е редицата [tex]{а_{n } }[/tex] с равенствата [tex]a_{1 }[/tex] = 2, [tex]a_{2 }[/tex] = 3 и [tex]a_{n+1 }[/tex] = 3[tex]a_{n }[/tex] - 2[tex]a_{n-1 }[/tex] при n[tex]\ge[/tex]2.
Докажете, че [tex]a_{n }[/tex] = [tex]2^{n-1}[/tex] + 1 при n [tex]\in[/tex] N.
Не разбирам как трябва да подходя към тази задача. Благодаря предварително за помощта.

В случая имате една рекурентно зададена редица:

Рекурентно зададена редица е редица на която е даден първият (или първите няколко члена) и формула,която изразява всеки следващ член на редицата,чрез предходните (един или няколко члена) - рекурентна формула
[tex]a_{1 } = 2 , a_{2 } = 3[/tex] и рекурентната формула : [tex]a_{n + 1 } = 3a_{n } - 2a_{n - 1 } , n\ge 2[/tex]
По тази формула намираме [tex]a_{3 } = 3a_{2 } - 2a_{1 } = 3.3 - 2.2 = 5[/tex]
Получихме:
[tex]a_{1 }= 2[/tex]
[tex]a_{2 } = 3 = 2^{1} + 1 = 2^{2 - 1} + 1[/tex]
[tex]a_{3 } = 5 = 2^{2} + 1 = 2^{3 - 1} + 1[/tex]
Нека допуснем,че е изпълнено за произволно [tex]n = k >2 : a_{k } = 2^{k - 1} - 1[/tex]
Ще проверим дали е изпълнено за [tex]n = k + 1[/tex] :
[tex]а_{к + 1 } = 2^{(k + 1) - 1} + 1 = 2^{k + 1 - 1} + 1 = 2^{k} + 1[/tex] или получихме,че [tex]a_{k +1 } = 2^{k} + 1[/tex]
[tex]\Rightarrow за \forall n\ge 2[/tex] е изпълнено [tex]a_{n } = 2^{n - 1} + 1[/tex]
(Използвах метода за пълна математическа индукция)

[KOPMOPAH]

Ако приемем, че $a_n=2^{n-1}+1$, съответно $a_{n-1}=2^{n-2}+1$, то за $a_{n+1}$ по рекурентната формула получаваме $$a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}=3(2^{n-1}+1)-2(2^{n-2}+1)=(2+1)(2^{n-1}+1)-2(2^{n-2}+1)=\\=2^n+2+2^{n-1}+1-2^{n-1}-2=2^n+\cancel{2}+\cancel{2^{n-1}}+1-\cancel{2^{n-1}}-\cancel{2}=2^n+1$$ В крайна сметка $a_{n+1}=2^n+1$