Прогресии

[Гост]

Здравейте. Ще бъде благодарен ако някой успее да ми помогне със следните две задачи.

[tex]\begin{array}{|l} a_{1 } + a_{5 } = 10 \\ 3a_{2 } + a_{6 } = 20 \\ S_{n } = 25\end{array}[/tex]

a1, d, n = ?

------------------

[tex]\begin{array}{|l} b_{1 } - b_{2 } + b_{3 } = 3 \\ b_{2 } - b_{3 } + b_{4 } = 6 \\ S_{n } = 31\end{array}[/tex]

b1, q, n = ?

[KOPMOPAH]

В първата задача има три уравнения и три неизвестни. Просто в уравненията търсените неизвестни са "скрити" под формата на други членове и сумата.

От системата
$$\begin{array}{|l} a_{1 } + a_{5 } = 10 \\ 3a_{2 } + a_{6 } = 20 \\ S_{n } = 25\end{array}$$
отчитайки това, че $$a_5=a_1+4d,\, a_2=a_1+d,\, a_6=a_1+5d,\, S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}·n$$ системата се превръща в система от три уравнения с три неизвестни $a_1,\, d,\, n$
$$\begin{array}{|l} a_{1 } + a_1+4d = 10 \\ 3(a_{1}+d) + a_1+5d = 20 \\ \displaystyle \frac{2a_1+d(n-1)}{2}·n= 25\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2a_{1 } +4d = 10 \\ 4a_1+8d = 20 \\ \displaystyle \frac{2a_1+d(n-1)}{2}·n= 25\end{array}$$
На това място, забелязваме че първото и второто уравнение са тъждествено равни, което означава, че системата има безброй решения...
Да се опитаме да намерим някои от тях.
Изразяваме $a_1=5-2d$ и заместваме в третото уравнение.
Получаваме $$ \frac{2(5-2d)+d(n-1)}{2}·n= 25$$
което след преработка се превръща в $$(dn+10)(n-5)=0$$
Освобождаваме се от множителя $(n-5)$, (по-нататък пак ще стигнем до $n=5$) и стигаме до $$n=\frac{-10}d$$
Тъй като $n$ е цяло положително число, то $d$ трябва да е някой от отрицателните делители на числото $-10$, а те са $-1$, $-2$, $-5$ и $-10$
Получаваме табличката:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|*{10}{r@{.}c|}} \hline
d & -1 &-2 & -5 & -10 \\ \hline

n & 10 & 5 & 2 &1 \\
\hline
\end{array}
$$
При $d=-1$, съответно $a_1=7,\, n=10$ получаваме прогресията $7,6,5,4,3,2,1,0,-1,-2$
При $d=-2$, съответно $a_1=9,\, n=5$ (както Ви обещах ) получаваме прогресията $9,7,5,3,1$
При $d=-5$, съответно $a_1=15,\, n=2$ получаваме прогресията $15,10$
При $d=-10$, съответно $a_1=25,\, n=1$ получаваме прогресията $25$, малко странна наистина с този си единствен член, ама какво да правим, като $n=1$ Иначе си е пълноправна прогресия, има си всички атрибути.
$$\begin{array} \hline \end{array}$$
И когато си мислим, че всичко е готово, ни хрумва да пробваме при $d=-0,5$. Получава се напълно годната аритметическа прогресия от $n=\frac{-10}{-0,5}=20$ члена, а именно $a_1=6,\, a_2=5,5,\,...,\,a_{20}=-3,5$, чиято сума, както може да се провери също е $25$. Ако положим $d=0,1$ - ще получим прогресия от $100$ члена, като $a_1=5,2,\,d=0,1,\,n=100$. Продължавайки така, можем да стигнем до прогресии с огромен брой членове, например при $d=-10^{-10}$ бихме имали $n=10^{11}$ с първи член $a_1=5,0000000002$

Тъй като системата е неопределена, има безброй решение - съответно и прогресиите са безброй, получаващи се по горепосочения начин. Допускам, че и с геометричната прогресия ще е нещо подобно.

[Гост]

Благодаря за отделеното време.
Затруднявам се някъде посредата - как точно се получава $$(dn+10)(n-5)=0$$ и освобождаването от множителя?

[KOPMOPAH]

Когато сме получили $$ \frac{2(5-2d)+d(n-1)}{2}·n= 25$$ трябва внимателно да извършваме действията, например $$ \frac{2(5-2d)+d(n-1)}{2}·n= 25 \Leftrightarrow (2(5-2d)+d(n-1))n=50 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (10-4d+dn-d)n=50 \Leftrightarrow 10n-4dn+dn^2-dn-50=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow dn^2-5dn+10n-50=0 \Leftrightarrow dn(n-5)+10(n-5)=0 \Leftrightarrow (dn+10)(n-5)=0$$

Това е смисълът на изречението

което след преработка се превръща в $$(dn+10)(n-5)=0$$

Що се отнася до освобождаването от множителя $(n-5)$ - да е равно на нула последното равенство, трябва или $n-5=0$, или $dn+10=0$. Разбира се, нищо не пречи и двата множителя да са $0$. Но за да разделим двете страни на равенството на $n-5$, трябва $n \ne 5$

[Гост]

Вече ми стана ясно, благодаря много.

Само още един въпрос: как се наричаше действието, където от dn(n−5)+10(n−5)=0 става на (dn+10)(n−5)=0
(понеже n-5 се повтаря)?

[Гост]

dn(n-5)+10(n-5)=0

Изнасяне (извеждане) на общ множител пред скоби.


(n-5)(dn+10)=0

[Гост]

a грес и вулканизатор знаеш ли какво са?

[Гост]

a грес и вулканизатор знаеш ли какво са?

O, да.
грес идва от Прогрес
но при теб, Про-то идва от простак.

[Гост]

Преди 4 години бащата е бил 7 пъти по-възрастен от сина си,
а след 4 години ще е 3 пъти по-възрастен от него.
На колко години е бащата сега?
Може ли да се реши задачата с геометрична прогресия ? и ако може да ми помогнете как да я реша ?

[Davids]

При това дадено не ти е нужно нищо повече от системата:
[tex]\begin{array}{|l} x - 4 = 7(y - 4) \\ x + 4 = 3(y + 4) \end{array}[/tex]
Оттам и бащата в момента е на $x = 32$, a синът на $y = 8$ години.

[Гост]

Един градус по скалата на Целзий е равен на 1.8 градуса по скалата на Фаренхайт , като на 0 градуса по Целзий съответства 32 градуса по Фаренхайт . По колко градуса температурата ще е еднаква и по двете скали ?
Мисля че трябва да е с прогресии . помогнете ми моля ей тая ми я за домашна
 

[Гост]

Весела Коледа !!!!!!!!! моля помогнете ми със задачата

[Davids]

Отново няма нужда да усложняваме излишно, устройва те решението на уравнението $32 + 1,8x = x \Rightarrow x = -40$ градуса по Целзий и по Фаренхайт са си равни

[Гост]

може ли да ми я обесните