Синусова теорема

[Гост]

ABCD е трапец с AB=10 CD=6 <A=60; <DCB=135. Височината h?

[Davids]

Ако спуснеш височините $CC_1 = h$ и $DD_1 = h$, то от $\triangle AD_1D$ - правоъгълен и $\angle BAD = 60^{\circ}$ следва, че $AD_1 = DD_1.cotg60 = \frac{h}{\sqrt{3}}$. Отделно и $\triangle BC_1C$ е правоъгълен равнобедрен, следователно $BC_1 = CC_1 = h$. Оттам всъщност можеш да извлечеш уравнението:
$AB = AD_1 + D_1C_1 + C_1B = \frac{h}{\sqrt{3}} + 6 + h = 10$
$\Rightarrow h = 2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$
А със синусовите теореми мъката много голяма бе

[Гост]

Ако спуснеш височините $CC_1 = h$ и $DD_1 = h$, то от $\triangle AD_1D$ - правоъгълен и $\angle BAD = 60^{\circ}$ следва, че $AD_1 = DD_1.cotg60 = \frac{h}{\sqrt{3}}$. Отделно и $\triangle BC_1C$ е правоъгълен равнобедрен, следователно $BC_1 = CC_1 = h$. Оттам всъщност можеш да извлечеш уравнението:
$AB = AD_1 + D_1C_1 + C_1B = \frac{h}{\sqrt{3}} + 6 + h = 10$
$\Rightarrow h = 2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$
А със синусовите теореми мъката много голяма бе

Мерси много, затруднявам се и с тези: (ако някой има време.)

1) В тригълник ABC с AB= 4V2, AA1 и BB1 са височини. SA1B1C/SABC = 1/9 . Намерете радиуса на описаната около тригълника ABC окр.

2) В ABC <C=90 , AC=4 BC=3. Окр(к) минава през т.A,B и средата M на AC. Намерете радиуса на описаната около тригълника ABM окръжност.

[Davids]

1) Не разбрах точно колко е АВ, но да кажем, че $AB = a$. Тогава от отношението на лицата на тези два подобни триъгълника можем да изведем техния метричен коефициент на подобие: $k = \frac{1}{3}$. Тогава това ще означава, че $\frac{B_1C}{BC} = \frac{1}{3} = cos\angle BCA = cos\gamma$
$\Rightarrow sin\gamma = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
Оттам вече е лесно в $\triangle ABC$: $R = \frac{a}{2sin\gamma} = \frac{3\sqrt{2}a}{8}$

2) $\angle BAC = \alpha \Rightarrow sin\alpha = \frac{3}{5}$ от дадения правоъгълен триъгълник. Намираш по Питагорова теорема от $\triangle BMC$: $BM = \sqrt{13}$ и тогава за $\triangle ABM \Rightarrow R = \frac{BM}{2sin\alpha} = \frac{5\sqrt{13}}{6}$