Косинусова теорема

[Гост]

1. ABC, a=45 ,b=5 c=48. Намерете ъглополовящата на най-големия ъгъл.

[Davids]

Най-голям е ъгълът срещу най-голямата страна, т.е. $\gamma$ в случая. Ъглополовящата ще ни е $CL$, при което $AL:LB = 5:45 = \frac{1}{9}$, следователно $AL = 4,8; LB = 43,2$.

Скрит текст: покажи

Решаването може да приключи още тук с една доста полезна формулка за ъглополовяща по дадени три страни, следователно и намерени частите, на които тя разделя срещулежащата си:
$l_c^2 = ab - AL.LB = 225 - \frac{24}{5}.\frac{216}{5} =
\frac{441}{25} \Rightarrow l_c = \frac{21}{5} = 4,2$

По косинусова теорема ще намерим: $cos\alpha = \frac{48^2 + 5^2 - 45^2}{2.48.5} = \frac{19}{30}$.
Оттам по косинусова теорема отново ще намерим и $l_c^2 = b^2 + AL^2 - 2b.AL.cos\alpha = 25 + \frac{24^2}{25} - 2.5.\frac{24}{5}.\frac{19}{30} = \frac{5^4 + 24^2 - 5.8.19}{25} = \frac{441}{25}$
$l_c = 4,2$

[Петър Евгениев]

triangle2.png (30.14 KiB) Прегледано 401 пъти

1. ABC, a=45 ,b=5 c=48. Намерете ъглополовящата на най-големия ъгъл.

Аз съм взел чертежа да ми бъде [tex]c=48=AB, a=AC=45, b=5=BC[/tex].
Най-големият ъгъл е ъгълът срещу най-голямата страна. (Именно по тази причина например в правоъгълен триъгълник хипотенузата винаги е най-голямата страна, защото правият ъгъл е най-голям във всеки правоъгълен триъгълник)
Това означава, че най-големият ъгъл е ъгълът срещу страната [tex]c=48=AB \Rightarrow \angle ACB[/tex] на моя чертеж.
Построявам ъглополовящата [tex]l_{c}\cap AB=L \Rightarrow CL=l_{c}[/tex] е търсената ъглополовяща.
Нека означим най-големият ъгъл [tex]\angle ACB=\varphi[/tex]. Използваме косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex]
$$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2.AC.BC.cos\varphi$$
Знаейки страните директно ги заместваме и получаваме неизвестно [tex]cos\varphi[/tex], ако знаем някоя добре дефинирана тригонометрична функция на даден ъгъл, то това е означава, че знаем ъгъла. С простички думи за да намериш ъгъл ти е достатъчно да знаеш косинуса на ъгъла например.
$$48^{2}=45^{2}+5^{2}-2.45.5.cos\varphi$$
$$2304=2025+25-2.5.45.cos\varphi$$
$$cos\varphi=-\frac{254}{2.5.45}=-\frac{127}{5.45}=-\frac{127}{225}$$

Свойството на ъглополовящата в триъгълник: [tex]\frac{AL}{LB}=\frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{AL}{LB}=\frac{45}{5} \Rightarrow \frac{AL}{BL}=\frac{9}{1} \Rightarrow AL=9x, BL=x[/tex], но [tex]AL+LB=AB=48 \Rightarrow 9x+x=48 \Rightarrow 10x=48 \Rightarrow x=\frac{48}{10}=4,8[/tex]
[tex]AL=9x=9.4,8=43,2, BL=x=4,8[/tex]

Сега подхващаш един от двете триъгълничета [tex]\triangle ALC[/tex] или [tex]\triangle BLC[/tex], тъй като [tex]AL=l_{c}[/tex] е ъглополовяща, то [tex]\angle ACL= \angle BCL= \frac{\varphi}{2}[/tex]

Косинусова теорема [tex]\triangle BCL \Rightarrow BL^{2}=CL^{2}+BC^{2}-2.CL.BC.cos\frac{\varphi}{2}[/tex]
Преди обаче да почнеш да заместваш трябва да намериш [tex]cos\frac{\varphi}{2}[/tex], знаейки [tex]cos\varphi=-\frac{127}{225}[/tex]
[tex]cos\frac{\varphi}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cos\varphi}{2}}[/tex], но [tex]\varphi \in \triangle ABC \Rightarrow cos\frac{\varphi}{2}>0[/tex]
[tex]cos\frac{\varphi}{2}=\sqrt{\frac{1+cos\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{1+(-\frac{127}{225})}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{225-127}{225}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{98}{225}}{2}}=\sqrt{\frac{49}{225}}=\frac{7}{15}[/tex]

Сега вече заместваме [tex]BL^{2}=CL^{2}+BC^{2}-2.CL.BC.cos\frac{\varphi}{2}[/tex]
$$(4,8)^{2}=l_{c}^{2}+5^{2}-2.l_{c}.\cancel{5}.\frac{7}{\cancel{15}}$$
$$23,04=l_{c}^{2}+25-2l_{c}.\frac{7}{3}$$
$$69,12=3l_{c}^{2}+75-14l_{c}$$
$$3l_{c}^{2}-14l_{c}+5,88=0$$
Като го гледам този красавец с корени [tex]l_{c}=4,2[/tex] и [tex]l_{c}=4,6[/tex] е възможно някъде да има изчислителна грешка, но идеята е тази

[Гост]

Отговорът е 4,2.

Да не ставам наханален, но съм отделил още няколко.

1) ABCD е трапец с лице 6см AD=2 BC=4 и ъгъл м/у бедрата 60. Намерете основите

2) Чет. ABCD e вписан в окръжност. AB=BC=3, CD=8 <BCD=60 AD?

3) Чет. ABCD е вписан в окръжност. AB=BC=2 CD= корен втори от 6, AD= корен втори от две. <ABC=? <ADC=?

4) ABCD е трапец. AB=2CD, AD=1, BC=2, ADxBC=F, <AFB=60 AB=? CD=?

[Евва]

1 зад. ABCD-трапец,нека продълженията на бедрата се пресичат в т.М; [tex]\angle[/tex]BMA=[tex]\angle[/tex]CMD=60[tex]^\circ[/tex] ; [tex]S_{ABCD }[/tex]=6 [tex]см^{2}[/tex]
СМ=х=? DM=у=? AB=a=? CD=b=?
[tex]S_{ABCD }[/tex]=6 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABM }[/tex]-[tex]S_{DCM }[/tex]=6

[tex]\frac{(2+у)(4+х)sin60^\circ}{2}[/tex]-[tex]\frac{ху.sin60^\circ}{2}[/tex]=6 ... [tex]\Leftrightarrow[/tex] х+2у=4[tex]\sqrt{3}[/tex]-4 (1)

[tex]\triangle[/tex]ABM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DCM (1признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2+у}{у}[/tex]=[tex]\frac{4+х}{х}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] х=2у (2)
Като решим с-та от (1) и (2) уравнение,получаваме х=2([tex]\sqrt{3}[/tex]-1) см. ; у=[tex]\sqrt{3}[/tex]-1 см.
След като знаеш х и у,приложи cos T в [tex]\triangle[/tex]DCM .Получих b=3-[tex]\sqrt{3}[/tex] см.
а-може да се намери по много начини ;получих а=3+[tex]\sqrt{3}[/tex] см.