Прогресии

[Гост]

Здравейте! Може ли малко помощ с няколко задачи от прогресии.
1.Да се докаже, че ако числата а, в, с образуват в посочения ред аритметична прогресия, то е в сила тъждеството а[2]+8вс=(2в+с)[2]. Вярно ли е обратното твърдение?
Отг. Не
《а(на квадрат)+8вс=(2в+с)на квадрат)》

2. Сумата на третия и деветия член на аритметична прогресия е равна на най малката стойност на тричлена 2х^2-4х+10.Да се намери сумата от първите 11 члена на тази прогресия.
Отг. 44

3. От топки с еднаква големина е построена пирамида така: наредени са топки в квадрат, плътно една до друга, като във всеки ред има по 10 топки. Във всеки ред на втория пласт има по 9 топки и т.н Най-отгоре има само 1 топка. Колкоса всичките топки?

4. Аритметична прогресия има 7 члена. Първият е 11, а последният 35. Колко члена има друга аритметична прогресия с крайни членове 38 и 13, ако 4тите членове на двете прогресии са равни?

Благодаря!

[Гост]

Всъщност 4та задача съм я решила, така че без нея!

[pal702004]

1) Равенството $a^2+8bc=(2b+c)^2$ може да се напише и като $a^2=(2b-c)^2$

[KOPMOPAH]

$2)$ Най-малката стойност на $2х^2-4х+10$ е $8$, предполагам знаеш как да я намериш. Сумата на третия и деветия член е равна на сумата на втория и десетия, на първия и единайстия, въобще $a_1+a_{11}=a_2+a_{10}=a_3+a_9=a_4+a_8=a_5+a_7=2a_6=8$, $a_6=4$, като прибавим $5$ двойки, чиято сума е $8$ - получаваме $5.8+4=44$.

Интересното в тази задача е, че не ни трябва да търсим нито първия член, нито разликата на прогресията, а намираме сумата, като използваме свойството на прогресията.

[Гост]

$2)$ Най-малката стойност на $2х^2-4х+10$ е $8$, предполагам знаеш как да я намериш. Сумата на третия и деветия член е равна на сумата на втория и десетия, на първия и единайстия, въобще $a_1+a_{11}=a_2+a_{10}=a_3+a_9=a_4+a_8=a_5+a_7=2a_6=8$, $a_6=4$, като прибавим $5$ двойки, чиято сума е $8$ - получаваме $5.8+4=44$.

Интересното в тази задача е, че не ни трябва да търсим нито първия член, нито разликата на прогресията, а намираме сумата, като използваме свойството на прогресията.

Как разбираме за НМС... знам 2 формули, но като ги приложа не ми излиза 8

[Davids]

Най-малка (респективно и най-голяма в зависимост от знака пред втората степен) стойност на квадратен тричлен се достига за $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2.2} = 1$ в случая. Тогава $f_{min}(x) = f(1) = 2.1 - 4.1 + 10 = 8$

[Гост]

Здравейте! Може ли помощ със задачите? Мерсиии
1. Дадена е аритметична прогресия а1,а2,а3...аn, за която числата а1,an и Sn (в посочения ред) също образуват аритметична прогресия и освен това удовлетворяват неравенството Sn^{2}+7a1^{2}<4an^{2} (sn2+7(a1)2< 4(an)2); a1=1
А) Да се намери n
Б) Да се напише прогресията
Отг: a) n=3;
б) 1,3,5

2. Да се докаже, че ако дължините на страните на един триъгълник образуват геометрична прогресия, то частното на прогресията се намира в интервала \frac{\sqrt{5}
5
​
- 1}{2} ; \frac{\sqrt{5} + 1}{2} (((Корен5)-1)/2 ; ((Корен5)+1)/2)

3. Танкер се пълни с нефт чрез няколко помпи с еднаква мощност, които се включват последователно една след друга, на равни промеждутъци от време. Те работят до напълване на танкера, след което се изключват едновременно. Ако имаше възможност да се включват едновременно, то танкерът би се напълнил за 15часа. Колко е работила помпата, която е включена първа, ако пампата, включена последна е работила 10часа?
Отг. 20 часа

4. Няколко комбайна едновременно започнали да прибират реколта, а прекратявали работата един след друг на равни промеждутъци от време. За колко дни са прибрали реколтата, ако последният комбайн работил 4 пъти повече дни от първия? Ако всички бяха работили до пълното прибиране на реколтата, биха работили 5 дни.
Отг. За 8 дни

5. Нека х1 и х2 са корени за уравнението x^{2}+2ах+b=0, a,y и y2 са корени на уравнението у^{2}+3ау+2b+2=0. Да се определят а и b така, че x1,y1,x2,y2 в посочения ред да образуват аритметична прогресия

[Петър Евгениев]

Здравейте! Може ли помощ със задачите? Мерсиии

2. Да се докаже, че ако дължините на страните на един триъгълник образуват геометрична прогресия, то частното на прогресията се намира в интервала \frac{\sqrt{5}
5
​
- 1}{2} ; \frac{\sqrt{5} + 1}{2} (((Корен5)-1)/2 ; ((Корен5)+1)/2)

Дежавю ли имам или това е публикувано вече?
Щом страните на триъгълника [tex]a,b,c[/tex] образуват геометрична прогресия. Нека [tex]a<b<c, q>1[/tex], то [tex]aq,aq^{2},aq^{3}[/tex] са страните на триъгълника и изпълняват следното неравенство: Сборът от всеки две страни е по-голям от третата. [tex]a+b>c \Rightarrow a+aq>aq^{2}[/tex]
[tex]a(1+q)>aq^{2} \Rightarrow 1+q>q^{2} \Rightarrow q^{2}-q-1<0 \Rightarrow q\in(\frac{1-\sqrt{5}}{2}; \frac{1+\sqrt{5}}{2})[/tex]