Прогресии - задачи за профилирана подготовка

[Гост]

Здравейте! Може ли помощ със задачите? Мерсиии
1. Дадена е аритметична прогресия а1,а2,а3...аn, за която числата а1,an и Sn (в посочения ред) също образуват аритметична прогресия и освен това удовлетворяват неравенството Sn^{2}+7a1^{2}<4an^{2} (sn2+7(a1)2< 4(an)2); a1=1
А) Да се намери n
Б) Да се напише прогресията
Отг: a) n=3;
б) 1,3,5

2. Да се докаже, че ако дължините на страните на един триъгълник образуват геометрична прогресия, то частното на прогресията се намира в интервала \frac{[tex]\sqrt{5}[/tex] - 1}{2} ; \frac{\sqrt{5} + 1}{2} (((Корен5)-1)/2 ; ((Корен5)+1)/2)

3. Танкер се пълни с нефт чрез няколко помпи с еднаква мощност, които се включват последователно една след друга, на равни промеждутъци от време. Те работят до напълване на танкера, след което се изключват едновременно. Ако имаше възможност да се включват едновременно, то танкерът би се напълнил за 15часа. Колко е работила помпата, която е включена първа, ако пампата, включена последна е работила 10часа?
Отг. 20 часа

4. Няколко комбайна едновременно започнали да прибират реколта, а прекратявали работата един след друг на равни промеждутъци от време. За колко дни са прибрали реколтата, ако последният комбайн работил 4 пъти повече дни от първия? Ако всички бяха работили до пълното прибиране на реколтата, биха работили 5 дни.
Отг. За 8 дни

5. Нека х1 и х2 са корени за уравнението x^{2}+2ах+b=0, a,y и y2 са корени на уравнението у^{2}+3ау+2b+2=0. Да се определят а и b така, че x1,y1,x2,y2 в посочения ред да образуват аритметична прогресия

[Гост]

Нямам идея как да станат

[S.B.]

Здравейте! Може ли помощ със задачите? Мерсиии

5. Нека х1 и х2 са корени за уравнението x^{2}+2ах+b=0, a,y и y2 са корени на уравнението у^{2}+3ау+2b+2=0. Да се определят а и b така, че x1,y1,x2,y2 в посочения ред да образуват аритметична прогресия

$x^{2} + 2ax + b = 0$ с корени $x_{1 } ,x_{2 }$ ; $y^{2} + 3ay +2b +2 = 0$ с корени $y_{1 },y_{2 }$;
От аритм.прогресия : $x_{1 },y_{1 },x_{2 },y_{2 }$ $\Rightarrow y_{1 } = \frac{x_{1 } + x_{2 }}{2} \Leftrightarrow 2y_{1 } = x_{1 } + x_{2 } \Leftrightarrow$ според формулите на Виет :$ 2y_{1 } = -2a \Rightarrow y_{1 } = - a$
$y_{1 }$ е корен на $y^{2} + 3ay + 2b + 2 = 0 \Rightarrow (-a)^{2} + 3a.(-a) + 2(b + 1) = 0 \Leftrightarrow$
$a^{2} - 3a^{2} + 2(b + 1) = 0 \Leftrightarrow -2a^{2} = -2(b + 1) \Rightarrow $ $a^{2} = b + 1$
От аритм.прогресия : $x_{1 } , y_{1 } , x_{2 } ,y_{2 } \Rightarrow x_{2 } = \frac{y_{1 } + y_{2 }}{2} \Leftrightarrow 2x_{2 } = y_{1 } + y_{2 } \Leftrightarrow $според формулите на Виет $ 2x_{2 } = -3a \Rightarrow x_{2 } = -\frac{3a}{2}$
$x_{2 }$ е корен на $x^{2} + 2ax + b = 0 \Rightarrow (- \frac{3a}{2})^{2} + 2a(-\frac{3a}{2}) + b = 0 \Leftrightarrow \frac{9a^{2}}{4} - \frac{6a^{2}}{2} +b = 0 \Leftrightarrow 9a^{2} - 12a^{2} + 4b = 0 \Leftrightarrow 3a^{2} = 4b \Rightarrow $$a^{2} = \frac{4}{3}b$
От [tex]\begin{cases} a^{2} = b + 1 \\ a^{2} =\displaystyle \frac{4}{3}b \end{cases} \Rightarrow b + 1 = \displaystyle \frac{4}{3}b \Rightarrow b = 3 ; a^{2} = b + 1 \Rightarrow a^{2} = 4 \Rightarrow a = \pm 2[/tex]
Окончателно : $(a = 2 , b = 3) $ и $(a = - 2 ,b = 3) $

[Евва]

3 зад. (не съм много сигурна)
Дадено:намаляваща аритметична прогресия [tex]t_{1 }[/tex];[tex]t_{2 }[/tex];...;[tex]t_{n }[/tex]
[tex]t_{n }[/tex]=10 ; [tex]t_{средно}[/tex]=15
[tex]t_{1 }[/tex]=

[tex]\frac{t_{1 }+t_{n }}{2}[/tex]=[tex]t_{средно }[/tex]

[tex]\frac{t_{1 }+10}{2}[/tex]=15

[tex]t_{1 }[/tex]=20 часа

[S.B.]

Здравейте! Може ли помощ със задачите? Мерсиии

3. Танкер се пълни с нефт чрез няколко помпи с еднаква мощност, които се включват последователно една след друга, на равни промеждутъци от време. Те работят до напълване на танкера, след което се изключват едновременно. Ако имаше възможност да се включват едновременно, то танкерът би се напълнил за 15часа. Колко е работила помпата, която е включена първа, ако пампата, включена последна е работила 10часа?
Отг. 20 часа

$n$ еднакви помпи за $15$ часа свършват цялата работа (пълнят танкера),която е $= 1$
Всяка помпа има производителност за $1$ час $P = \frac{1}{15n}$
Времето през което е работила $1-$ва помпа е $t$ часа, а $n -$ та помпа е $10$ часа
Работата която е извършила всяка помпа е $A_{n } = t_{n }.P$ ,където:
$\displaystyle \div t_{1 },t_{2 },t_{3 }.......t_{n }$ е намаляваща аритметична прогресия от времената през които са работили помпите,а
$\displaystyle \div A_{1 },A_{2 },A_{3 }......A_{n }$ е намаляваща аритметична прогресия от работата извършена от всяка от помпите
$А_{1 } + А_{2 } + А_{3 } + ....+ А_{n } = 1 \Rightarrow \displaystyle \frac{A_{1 } + A_{n }}{2}.n = 1$ (сумата от работата на всички помпи е цялата работа = $1$)
Знаем,че $t_{1 } = t ,t_{n } = 10 \Rightarrow A_{1 } = t.P ,A_{n } = 10.P$ [tex]\Rightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{t}{15n} + \displaystyle \frac{10}{15n}}{2}.n = 1 \Leftrightarrow \displaystyle \frac{t + 10}{30n}.n = 1\Leftrightarrow t + 10 = 30 \Rightarrow t = 20[/tex]
Първата помпа е работила $20$ часа

[S.B.]

[quote="Гост"]Здравейте! Може ли помощ със задачите? Мерсиии

4. Няколко комбайна едновременно започнали да прибират реколта, а прекратявали работата един след друг на равни промеждутъци от време. За колко дни са прибрали реколтата, ако последният комбайн работил 4 пъти повече дни от първия? Ако всички бяха работили до пълното прибиране на реколтата, биха работили 5 дни.
Отг. За 8 дни
Задачата е подобна на задачата с танкера.Тук производителността е за 1 ден за един комбайн е [tex]P = \frac{1}{5n}[/tex],
а работата извършена от всеки комбайн е [tex]A_{n } = P.t_{n }[/tex],където :
$\div t_{1 },t_{2},t_{3 }.....t_{n }$ е растяща аритм.прогресия от времената за работа на всеки от $n -$ те комбайна,а
$\div A_{1 },A_{2 },A_{3 }....A_{n }$ е растяща аритм.прогресия от работата извършена от всеки комбайн
Сумата от работата на всички комбайни е равна на цялата работа която е = 1:
[tex]A_{1 } + A_{2 } + A_{3 } + ...+A_{n } = 1 \Leftrightarrow \frac{A_{1 } + A_{n }}{2}n = 1 \Leftrightarrow \frac{P.t_{1 } + P.t_{n }}{2}.n = 1[/tex]
[tex]P = \frac{1}{5n} , t_{1 } = t , t_{n } = 4t \Rightarrow \frac{t + 4t}{10n}n = 1 \Leftrightarrow t + 4t = 10 \Rightarrow t = 2,4t = 8[/tex]
Последният комбайн е приключил след $8$ дена работа $\Rightarrow$ работата е свършена за $8$ дена

[S.B.]

Здравейте! Може ли помощ със задачите? Мерсиии
1. Дадена е аритметична прогресия а1,а2,а3...аn, за която числата а1,an и Sn (в посочения ред) също образуват аритметична прогресия и освен това удовлетворяват неравенството Sn^{2}+7a1^{2}<4an^{2} (sn2+7(a1)2< 4(an)2); a1=1
А) Да се намери n
Б) Да се напише прогресията
Отг: a) n=3;
б) 1,3,5

2. Да се докаже, че ако дължините на страните на един триъгълник образуват геометрична прогресия, то частното на прогресията се намира в интервала \frac{[tex]\sqrt{5}[/tex] - 1}{2} ; \frac{\sqrt{5} + 1}{2} (((Корен5)-1)/2 ; ((Корен5)+1)/2)

За съжаление условията на зад.1 и 2 са поднесени твърде неразбираемо