Прогресии

[Гост]

Привет... можете ли да ми решите следните задачи ( ако не всички то да ми помогнете за някои от тях ) :

Да се намерят 4 цели числа, пъривте 3 от които образуват аритметична прогресия, а последните 3 - геометрична, като се знае, че сумата на крайните числа е 37, а сумата на средните 36.

Три числа образуват геометчирна прогресия. Ако вторият й член намалим с 4, новата тройка в същия ред пак образуват геометрична прогресия. Ако третият й член на новата прогресия намалим с 9, то се получава аритметична прогресия. Кои са пъровначалните числа?

Три числа образуват геометрична прогресия. Ако от третото извадим 64, ще получим 3 числа, които образуват аритметична прогресия. Ако пък от втория член на така получената прогресия извадим 8, ще получим пак геометрична прогресия. Да се намерят числата.

[Гост]

Без първата задача

[S.B.]

Три числа образуват геометчирна прогресия. Ако вторият й член намалим с 4, новата тройка в същия ред пак образуват геометрична прогресия. Ако третият й член на новата прогресия намалим с 9, то се получава аритметична прогресия. Кои са пъровначалните числа

Три числа образуват геометр. прогресия : [tex]a ,aq , aq^{2}[/tex]
Ако вторият член намалим с 4 - пак образуват геометр. прогресия : [tex]a , aq - 4 , aq^{2} \Rightarrow (aq - 4)^{2} = a.aq^{2}[/tex]
Ако третия член на новата геометр.прогресия намалим с 9 - получава се аритм.прогресия :[tex]a , aq - 4 , aq^{2} - 9 \Rightarrow 2(aq - 4) = a + aq^{2} - 9[/tex]
Образуваме системата:
[tex]\begin{array}{|l}(aq - 4)^{2} = a^{2} q^{2}\\2(aq - 4) = a + aq^{2} - 9 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a^{2}q^{2} - 8aq + 16 = a^{2}q^{2} \\2aq - 8 = a + aq^{2} - 9 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} aq = 2 \\ a - 2aq + aq^{2} = 1 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} aq = 2\\ a + 2q = 5 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} aq = 2 \\ a = 5 - 2q \end{array} \Rightarrow q(5 -2q) = 2 \Leftrightarrow 2q^{2} - 5q + 2 = 0[/tex] корените са :[tex]q_{1 } = 2 ,q_{2 } =\displaystyle \frac{1}{2}[/tex] и съответно [tex]a_{1 } = 1 , a_{2 } = 4[/tex]
Първоначалните числа са : $1,2,4$ и $ 4 ,2,1$

[KOPMOPAH]

За втората задача:

Ако числата са $a$, $b$ и $c$, по условие имаме: $$\begin{array}{|l} b^2= ac \\ (b-4)^2=ac\\ 2(b-4)=a+c-9 \end{array}$$ Системата въобще не е сложна, от първото и второто уравнение сравнително лесно получаваме $b=2$, системата става $$ \begin{array}{|l} 4=ac \\ 5= a+c \end{array}$$откъдето $a=1$, $c=4$ или $a=4$, $c=1$, трите числа са или $1,2,4$ или $4,2,1$

Я, писали сме едновременно

[S.B.]

Три числа образуват геометрична прогресия. Ако от третото извадим 64, ще получим 3 числа, които образуват аритметична прогресия. Ако пък от втория член на така получената прогресия извадим 8, ще получим пак геометрична прогресия. Да се намерят числата.

Три числа образуват геометр. преогресия :[tex]a , aq , aq^{2}[/tex]
Ако от третия член извадим $64$ ще получим аритм.прогресия :
[tex]a , aq , aq^{2} - 64 \Rightarrow 2aq = a + aq^{2} - 64[/tex]
А ако от втория член на получената прогресия извадим $8$ получаваме отново геометр.прогресия :
[tex]a , aq - 8 , aq^{2} - 64 \Rightarrow (aq - 8)^{2} = a(aq^{2} - 64)[/tex]
Образуваме системата:
[tex]\begin{array}{|l} 2aq = a + aq^{2} - 64 \\ (aq - 8)^{2} = a(aq^{2} - 64) \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a - 2aq + aq^{2} = 64 \\ 64a - 16aq = - 64 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a(1 - q)^{2} = 64 \\ a(4 - q) = -4 \end{array}[/tex] делиш почленно и получаваш:
[tex]\displaystyle \frac{1 - 2q + q^{2}}{4 - q} = -16 (q \ne 4) \Leftrightarrow q^{2} - 18q + 65 = 0[/tex]
с корени [tex]q_{1 } = 13 , q_{2 } = 5[/tex] и съответно [tex]a_{1 } = \displaystyle\frac{4}{9} , a_{2 } = 4[/tex]
Прогресиите са :[tex]\displaystyle\frac{4}{9}, \displaystyle \frac{52}{9 },\displaystyle \frac{676}{9}[/tex] и [tex]4 , 20 , 100[/tex]

[S.B.]

За втората задача:

Я, писали сме едновременно

Ами...случват се такива работи....

[KOPMOPAH]

Важното е, че сме получили едни и същи отговори, което значи, че сме решавали правилно

Или сме сбъркали еднакво

[S.B.]

Важното е, че сме получили едни и същи отговори, което значи, че сме решавали правилно

Или сме сбъркали еднакво

И в двата случая общия извод е,че мисленето ни е еднакво ...А дали е правилно или не е - това е отделен въпрос на който аз не се наемам да дам отговор!

[Гост]

Май,май този разговор ще трябва да бъде продължен на друго място!