2 задачи за прогресия

[Гост]

Първата зад. : Да се намери а1 и d в аритметична прогресия, за която:
a2:a6=5:9
a7-a3=16

Вторат зад. : Да се намери а1 и q в геометрична прогресия, за която:
а4-а2=18
а5-а3=36

[Davids]

Тези задачи са едни от най-машиналните, лесни и приятни (за който не намира интерес в математиката) задачи Всичко се свежда до по три формули на вид прогресия: за $n$-ти член, за сума от първите $n$ члена и респективно „свойството“ на прогресията (връзката между член и двата му съседни). Та, нека се заемем с първата:
[tex]\begin{array}{|l} a_2:a_6 = 5:9 \\ a_7 - a_3 = a_6 + d - a_2 - d = a_6 - a_2 = 13 \end{array}[/tex]
Решаваме система като в осми клас. Изразяваме от първото уравнение $a_2 = \frac{5}{9}a_6$ и заместваме във второто: $a_6(1 - \frac{5}{9}) = 13 \Rightarrow a_6 = \frac{117}{4}$ и следователно $a_2 = \frac{65}{4} = a_6 - 4d \Rightarrow 4d = a_6 - a_2 = 13 \Rightarrow d = \frac{13}{4} \Rightarrow a_1 = 13$

Можеш ли, прилагайки аналогично мислене, да се опиташ сам с втората?

[mail_dinko]

Първата задача е аритметична прогресия. Първи член е а1=16, разликата на прогресията е 4.
За втората задача - геом. прогресия с първи член а1=3; частно на прогресията q=2

[S.B.]

Вторат зад. : Да се намери а1 и q в геометрична прогресия, за която:
а4-а2=18
а5-а3=36

[tex]\begin{array}{|l} a_{4 } - a_{2 } = 18 \\ a_{5 } - a_{3 } = 36 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} aq^{3} - aq = 18 \\ aq^{4} - aq^{2} = 36 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} aq(q^{2} - 1) = 18 \\ aq^{2}(q^{2} - 1) = 36 \end{array}[/tex]
Делиш почленно :[tex]\frac{aq(q^{2} - 1 )}{aq^{2}(q^{2} - 1)} = \frac{18}{36} \Leftrightarrow \frac{1}{q} = \frac{1}{2} \Rightarrow q = 2[/tex]
Заместваш $q = 2$ в $aq(q^{2} - 1) = 18$ и получаваш $a = 3$
Отговор: $a_{1 } = a = 3 , q = 2 $