Четириъгълник

[Гост]

Задачата е от ДЗИ по желание

[Davids]

Означаваме $AD = CD = x$ и тогава $AC = BC = \sqrt{2}x$, от което пък непосредствено следва $AB = 2x$ (все поради факта, че са хипотенузи в равнобедрени правоъгълни триъгълници). По Питагорова теорема намираме и $BD = \sqrt{5}x$. Подлагаме $DB$ на транслация с вектор $\vec{CD}$ и получаваме $\triangle ACC_1$, за който $\angle BAC = 45^{\circ}$, $AC_1 = AB + BC_1 = AB + CD = 3x$ и $CC_1 = BD = \sqrt{5}x$. Прилагаме окончателно една синусова теорема, според която:
$\frac{CC_1}{sin\angle BAC} = \frac{AC_1}{sin\angle C_1CA}$
И така $sin\angle C_1CA = sin\angle BOA = sin\angle BOC = \frac{3x.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}x} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

[Nathi123]

Нека AD=DC=a[tex]\Rightarrow AC=BC=a\sqrt{2}; \triangle ABC\Rightarrow AB^{2}=2AC^{2}=2.2a^{2}\Leftrightarrow AB=2a ; \triangle ABD\Rightarrow[/tex]
[tex]BD^{2}=a^{2}+4a^{2}\Leftrightarrow BD=a\sqrt{5}; \triangle DOC\approx \triangle AOB\Rightarrow \frac{DC}{AB}=\frac{DO}{OB}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow OB=\frac{2}{3}BD=\frac{2a\sqrt{5}}{3}; \triangle BOC\Rightarrow sin\angle BOC=\frac{BC}{BO}=\frac{3a\sqrt{2}}{2a\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow г)[/tex].