Правоъгълен трапец

[Гост]

Правоъгълен трапец ABCD (AB||CD) е описан около окръжност с център О,като ОВ=20,ОС=15 .
Околните стени на пирамида ABCDM сключват с основата й ъгъл 60 градуса.Намерете обема й.
отговор 2352.корен кв.от 3

[S.B.]

Без заглавие (40).png (336.05 KiB) Прегледано 704 пъти

Правоъгълен трапец ABCD (AB||CD) е описан около окръжност с център О,като ОВ=20,ОС=15 .
Околните стени на пирамида ABCDM сключват с основата й ъгъл 60 градуса.Намерете обема й.
отговор 2352.корен кв.от 3

Решаване на основата:
центърът на вписаната окръжност т.$O$ е пресечна точка на ъглополовящите $OC,OB$
[tex]\angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 90^\circ \Rightarrow \angle BOC = 90^\circ[/tex] и $\triangle BOC$ е правоъгълен

По Питагор :$BC = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = 25$ ;$S_{\triangle BOC } = \frac{BC.PO}{2} = \frac{OB.OC}{2} \Leftrightarrow PO.25 = 20.15 \Rightarrow$
$ r = OP = 12 \Rightarrow AD = 2r = 24$
В трапеца е вписана окръжност $\Rightarrow AB + CD = AD + BC = 24 + 25 = 49$
тогава $S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.AD = \frac{49}{2}.24 = 588$
Решаване на пирамидата:
От $\triangle NOM : \frac{OM}{ON} = tg60^\circ \Leftrightarrow OM = r.tg60^\circ \Rightarrow OM = 12.\sqrt{3}$
$V_{MABCD } = \frac{1}{3}.OM.S_{ABCD } = \frac{1}{3}.12\sqrt{3}.588 \Rightarrow V= 2352\sqrt{3}$