Тригонометрия

[Гост]

Да се докаже тъждеството:
cos [tex]\frac{2π}{7}[/tex] + cos [tex]\frac{4π}{7}[/tex] + [tex]\frac{6π}{7}[/tex] = - [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Благодаря на всички, които се отзоват!

[Knowledge Greedy]

Нека означим [tex]\frac{\pi}{7}=\alpha[/tex]
Разглеждаме комплексното число
[tex]z=cos\alpha+isin\alpha[/tex]
Ясно е защо - защото [tex]z^7=-1[/tex] - по А. де Моавър.
От друга страна [tex]-1+z-z^2+z^3-z^4+z^5-z^6+z^7=\frac{z^7+1}{z+1}=0[/tex]
Разглеждаме реалната част на горната сума
[tex]1-cos\alpha+ cos2\alpha-cos3\alpha+ cos4\alpha-cos5\alpha+ cos6\alpha=0[/tex]
и като съобразим, че
[tex]\begin{array}{|l} cos\alpha=-cos6\alpha \\ cos3\alpha=-cos4\alpha \\ cos5\alpha=-cos2\alpha \end{array}[/tex]
непосредствено следва
[tex]cos2\alpha + cos4\alpha+ cos6\alpha=\frac{1}{2}[/tex]