Окръжност,четириъгълник,тригонометрия

[Anito]

Имам задача : В окръжност с радиус R да се впише правоъгълник с най-голям периметър. В момента учим формулите за сбор и произведение на тригонометрични функции и би трябвало тях да ги използвам, но нямам идея как.

[martin123456]

диагоналите на правоъгълник вписан в окръжност са диаметри на окръжността
[tex]AC \cap BD=O[/tex]=>[tex]AO=OC=OD=OA=R[/tex].
нека [tex]\angle ABD=\alpha[/tex]. леесно се намирт всички ъгли. така че считам че ги иамме. нека [tex]OM \bot AB[/tex]. [tex]\Delta MBO[/tex]: [tex]\cos{\alpha}=\frac{MB}{R}=\frac{AB}{2R}[/tex]=>[tex]AB=2R\cos{\alpha}[/tex]. с аналогично построение [tex]AD=2R\sin{\alpha}[/tex]=>[tex]P_{ABCD}=4R(\sin{\alpha}+\cos{\alpha})[/tex].
Сега трябва да намерим максималната стойност на [tex]A=\sin{\alpha}+\cos{\alpha}[/tex]: [tex]A\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin{\alpha}\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos{\alpha}\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin{\alpha}\cos{45^\circ}+\sin{45^\circ}\cos{\alpha}=\sin{(45^\circ+\alpha)} \leq 1[/tex]=>[tex]A \leq \sqrt{2}[/tex]=>[tex]P \leq 4\sqrt{2}R[/tex] и това му е макс стойност. достига се при квадрат.