Ъгъл между права и равнина

[Гост]

Основата на четириъгълна пирамида е квадрат със страна равна на a, и околен ръб, перпендикулярен на основата, който също има дължина а. Сборът от лицата на околните стени на пирамидата е:

Основата на триъгълна пирамида е правоъгълен равнобедрен триъгълник с катет, равен на b. Околен ръб, който минава през връх на остър ъгъл на основата, е перпендикулярен на катетите на триъгълника и има дължина b. Сборът от лицата на всички стени на пирамидата е:

Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с основа, равна на а, и срещулежащ ъгъл, равен на 30•. Всички околни ръбове на пирамидата са равни на 2а. Височината на пирамидата е равна на:

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-05T172313.616.png (281.11 KiB) Прегледано 956 пъти

Основата на четириъгълна пирамида е квадрат със страна равна на a, и околен ръб, перпендикулярен на основата, който също има дължина а. Сборът от лицата на околните стени на пирамидата е:

Не е казано през кой връх минава околният ръб,аз избирам да минава през върха [tex]D[/tex]
$\triangle ADM\cong \triangle CDM $ ( 1-ви признак) $\Rightarrow S_{ADM } = S_{CDM } = \frac{a^{2}}{2}$
По Питагор намирам $AM = CM = a\sqrt{2}$
Според теоремата за трите перпендикуляра $AM\bot AB $ аналогично $CM\bot BC$ или $\triangle ABM$ и $\triangle BCM$ са правоъгълни триъгълници;
$\triangle ABM \cong \triangle BCM$ (1 - ви признак) $\Rightarrow S_{ABM } = S_{BCM } = \frac{a.a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
Сумата от повърхнините на околните стени е околната повърхнина на пирамидата - $S_{ок }$
$$S_{ок } = 2.\frac{a^{2}}{2} + 2.\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2} = a^{2}(1 + \sqrt{2})$$

[Гост]

Без заглавие - 2020-04-05T172313.616.png

Основата на четириъгълна пирамида е квадрат със страна равна на a, и околен ръб, перпендикулярен на основата, който също има дължина а. Сборът от лицата на околните стени на пирамидата е:

Не е казано през кой връх минава околният ръб,аз избирам да минава през върха [tex]D[/tex]
$\triangle ADM\cong \triangle CDM $ ( 1-ви признак) $\Rightarrow S_{ADM } = S_{CDM } = \frac{a^{2}}{2}$
По Питагор намирам $AM = CM = a\sqrt{2}$
Според теоремата за трите перпендикуляра $AM\bot AB $ аналогично $CM\bot BC$ или $\triangle ABM$ и $\triangle BCM$ са правоъгълни триъгълници;
$\triangle ABM \cong \triangle BCM$ (1 - ви признак) $\Rightarrow S_{ABM } = S_{BCM } = \frac{a.a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
Сумата от повърхнините на околните стени е околната повърхнина на пирамидата - $S_{ок }$
$$S_{ок } = 2.\frac{a^{2}}{2} + 2.\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2} = a^{2}(1 + \sqrt{2})$$

Благодаря!

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-05T215543.263.png (300.21 KiB) Прегледано 939 пъти

Основата на триъгълна пирамида е правоъгълен равнобедрен триъгълник с катет, равен на b. Околен ръб, който минава през връх на остър ъгъл на основата, е перпендикулярен на катетите на триъгълника и има дължина b. Сборът от лицата на всички стени на пирамидата е:

Теорема:Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави от дадена равнина,то тя е перпендикулярна на всяка права от тази равнина
[tex]AD \bot (AC X BC ) \Rightarrow AD \bot AB[/tex] и $\triangle ABD$ е правоъгълен
$\triangle ABC$ е правоъгълен по условие и по Питагор $ \Rightarrow AB = b\sqrt{2}$
$ S_{ABD } = \frac{b.b\sqrt{2}}{2} = \frac{b^{2}\sqrt{2}}{2}$
$S_{ACD } = \frac{b^{2}}{2}$
Според теоремата за трите перпендикуляра $DC\bot BC \Rightarrow \triangle BCD$ е правоъгълен и $S_{BCD } = \frac{b.b\sqrt{2}}{2} = \frac{b^{2}\sqrt{2}}{2}$
$S_{ABC } = \frac{b^{2}}{2}$
Сумата от лицата на всички стени стени на пирамидата е $2\frac{b^{2}}{2} + 2\frac{b^{2}\sqrt{2}}{2} = b^{2}(1 + \sqrt{2})$

[Knowledge Greedy]

Тук май лицето на околната повърхнина е [tex]S_{ok}=\frac{b^2}{2}(1+2\sqrt{2}[/tex]

[S.B.]

Тук май лицето на околната повърхнина е [tex]S_{ok}=\frac{b^2}{2}(1+2\sqrt{2}[/tex]

И аз така си мислех,но забелязах,че се търси сумата от лицата на ВСИЧКИ стени,за разлика от предишната задача където е казано сумата от ОКОЛНИТЕ стени.
Ако бяха казали пълна или околна повърхнина нямаше да има място за съмнения

[Knowledge Greedy]

Само не разбрах, защо в темата имаше "ъгъл между права и равнина" .

За последната:

… Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с основа, равна на а, и срещулежащ ъгъл, равен на 30•. Всички околни ръбове на пирамидата са равни на 2а. Височината на пирамидата е равна на:

По синусова теорема [tex]R=a[/tex] - където R e радиусът на описаната окръжност около триъгълника на основата.
Всеки околен ръб се проектира ортогонално в радиус на описаната окръжност и заедно с височината на пирамидата образува правоъгълен триъгълник.
Ето защо [tex]H^2=(2a)^2-R^2[/tex]
Следователно
[tex]H^2=4a^2-a^2 \,\ \Rightarrow \,\ H^2=3a^2 \,\ \Rightarrow H=a\sqrt{3}[/tex]

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-05T225751.834.png (299.56 KiB) Прегледано 929 пъти

Чертежът от мене !