Стереометрия

[Гост]

Може ли помощ със следните задачи:
Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1. Диагоналите BA1 и BC1 на околните стени образуват съответно ъгли 30 и 60 с основата на паралелепипеда. Диагоналът на основата е равен на [tex]\sqrt{30}[/tex] cm. Околният ръб на паралелепипеда е равен на?

Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCM с връх М. Околните ръбове са равни на l и образуват ъгъл \beta с основата. Радиусът на вписаната окръжност в основата на пирамидата е равен на?

Дадена е триъгълна пирамида ABCM с околен ръб MC, перпендикулярен на основата, AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 4 cm и AM = 2 cm. Ъгълът между ръба АМ и основата на пирамидата е:

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-12T072539.540.png (245.04 KiB) Прегледано 441 пъти

Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1. Диагоналите BA1 и BC1 на околните стени образуват съответно ъгли 30 и 60 с основата на паралелепипеда. Диагоналът на основата е равен на [tex]\sqrt{30}[/tex] cm. Околният ръб на паралелепипеда е равен на?

От [tex]\triangle ABA_{1 } \rightarrow \frac{a}{c} = cotg30^\circ \Rightarrow a = c.cotg30^\circ = c\sqrt{3}[/tex]
От $\triangle BCC_{1 } \rightarrow \frac{b}{c} = cotg60^\circ \Rightarrow b = c.cotg60^\circ = c\frac{\sqrt{3}}{3}$
От $\triangle ABC \Rightarrow AC^{2} = a^{2} + b^{2} \Leftrightarrow 30 = 3c^{2} + \frac{1}{3}c^{2} \Leftrightarrow 10c^{2} = 90 \Rightarrow c^{2} = 9 \Rightarrow c = \pm 3$
$$CC_{1 } = 3$$

[Гост]

Без заглавие - 2020-04-12T072539.540.png

Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1. Диагоналите BA1 и BC1 на околните стени образуват съответно ъгли 30 и 60 с основата на паралелепипеда. Диагоналът на основата е равен на [tex]\sqrt{30}[/tex] cm. Околният ръб на паралелепипеда е равен на?

От [tex]\triangle ABA_{1 } \rightarrow \frac{a}{c} = cotg30^\circ \Rightarrow a = c.cotg30^\circ = c\sqrt{3}[/tex]
От $\triangle BCC_{1 } \rightarrow \frac{b}{c} = cotg60^\circ \Rightarrow b = c.cotg60^\circ = c\frac{\sqrt{3}}{3}$
От $\triangle ABC \Rightarrow AC^{2} = a^{2} + b^{2} \Leftrightarrow 30 = 3c^{2} + \frac{1}{3}c^{2} \Leftrightarrow 10c^{2} = 90 \Rightarrow c^{2} = 9 \Rightarrow c = \pm 3$
$$CC_{1 } = 3$$

Благодаря! Може ли и другите?

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-12T123918.014.png (333.76 KiB) Прегледано 407 пъти

Може ли помощ със следните задачи:

Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCM с връх М. Околните ръбове са равни на l и образуват ъгъл \beta с основата. Радиусът на вписаната окръжност в основата на пирамидата е равен на?

Нека основният ръб на пирамидата е $a$.Тогава медианата [tex]CN = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] .Върхът на пирамидата се проектира върху пресечната точка на медианите $H$,която дели медианата в съотношение $2:1$,като $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Лесно можеш да се убедиш като приложиш Синусова теорема за $\triangle ABC $ , а именно $\frac{a}{sin60^\circ} = 2R \Rightarrow R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
А от лицето на $\triangle ABC \rightarrow pr = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow\frac{3a}{2}.r = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \Rightarrow r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{R}{2}$

От $\triangle MHC \rightarrow \displaystyle\frac{HC}{MC} = cos\beta \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}}{l} = cos\beta \Rightarrow\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3} = lcos\beta$
$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow r = \frac{1}{2}lcos\beta$

[S.B.]

Дадена е триъгълна пирамида ABCM с околен ръб MC, перпендикулярен на основата, AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 4 cm и AM = 2 cm. Ъгълът между ръба АМ и основата на пирамидата е:

Прегледайте отново условието на задачата,защото от [tex]MC \bot (ABC) \rightarrow MC \bot AC[/tex] и $\triangle AMC$ е правоъгълен с хипотенуза $AM = 2$ което е невъзможно при катет $AC = 4$.